Kurs Planimetria: Wielokąty, Okręgi i Dowody

Zobacz wszystkie Kursy

Po trójkątach i czworokątach czas na większe figury – wielokąty.

Lekcja czwarta podstawowa dotyczy takich kwestii jak obliczanie liczby przekątnych wielokąta czy też sumy miar wszystkich kątów. Omawiam tu także wielokąty foremne: sześciokąt, ośmiokąt i inne.

Lekcja ta ma ponad 1,5 godziny. Pokazuję wszystkie potrzebne wzory, przede wszystkim sposób ich wyprowadzenia. Na 19 przykładach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach.

Spis treści:

• Podział czworokątów [03:15]
• Definicja wielokąta [01:51]
• Wielokąty wklęsłe i wypukłe [03:14]
• Przekątne wielokąta, wzór na liczbę przekątnych wielokąta [07:26]
• Zadanie 1: obliczanie liczby przekątnych wielokąta – 4 przykłady [12:24]
• Zadanie 2: obliczanie liczby boków wielokąta mając podane przekątne – 2 przykłady [18:13]
• Zadanie 3: przekątne w wielokątach, czy istnieje taki wielokąt – 2 przykłady [21:52]
• Suma kątów wewnętrznych wielokąta, wzór [27:07]
• Zadanie 4: obliczanie sumy miar kątów wewnętrznych wielokąta – 2 przykłady [32:04]
• Zadanie 5: obliczanie liczby boków wielokąta mając podaną sumę kątów – 2 przykłady [34:00]
• Zadanie 6: suma miar kątów wielokąta, czy istnieje taki wielokąt – 2 przykłady [36:32]
• Wielokąt foremny [39:25]
• Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego, wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego [43:01]
• Kąt zewnętrzny wielokąta foremnego [48:15]
• Okrąg opisany i wpisany w trójkąt i w czworokąt [51:23]
• Okrąg opisany na wielokącie i wpisany w wielokąt [56:10]
• Kąt środkowy wielokąta foremnego wraz z przykładem [58:22]
• Zadanie 7: kąty w wielokątach foremnych – 3 przykłady [1:02:06]
• Symetria osiowa wielokąta foremnego [1:08:29]
• Symetria środkowa wielokąta foremnego [1:12:04]
• Pole wielokąta [1:14:56]
• Pole wielokąta foremnego [1:17:31]
• Sześciokąt foremny: kąty, przekątne, pole sześciokąta [1:21:58]
• Zadanie 8: sześciokąt foremny, wyznaczanie różnych wielkości [1:25:48]
• Zadanie 9: ośmiokąt foremny, wyznaczanie różnych wielkości [1:29:56]
• Tabela własności wielokątów [1:38:33]

Kolejna z lekcji rozszerzonych z planimetrii – wielokąty.

Lekcja czwarta rozszerzona nie zawiera nowych wzorów i własności w porównaniu do lekcji 4 podstawowej. Podczas około 50-minutowego nagrania omawiam 10 trudniejszych zadań dotyczących wielokątów i figur foremnych.

Dlatego przed przystąpieniem do tej lekcji koniecznie obejrzyj wersję Lekcji podstawowej

Spis treści:

• Zadanie 1: zależności w n-kątach (liczba przekątnych oraz kąt wewnętrzny wielokąta foremnego) – 2 przykłady [02:08]
• Zadanie 2: wyznaczanie wzorów na pole wielokąta foremnego przy pomocy promieni okręgów opisanych i wpisanych – 2 przykłady [09:29]
• Zadanie 3: pole wielokąta opisanego na okręgu o promieniu r i obwodzie L [15:09]
• Zadanie 4: pole wielokąta powstałego przez połączenie środków boków wielokąta foremnego o długości a [18:06]
• Zadanie 5: sześciokąt foremny wpisany w trójkąt równoboczny [23:24]
• Zadanie 6: dowód – dwusieczne kątów siedmiokąta, suma miar kątów przecięcia dwusiecznych równa jest 360 stopni [29:28]
• Zadanie 7: dwa kwadraty nałożone na siebie, tworzące szesnastokąt w formie gwiazdy [36:29]
• Zadanie 8: pokrywanie parkietu płytkami z figur foremnych [42:52]

Przed Tobą ostatnia lekcja tematyczna. Omawiam w niej okręgi i koła.

Lekcja piąta podstawowa podzielona jest na dwie części. Pierwsza, zawierająca ponad 3,5 godzinne video, przedstawia podstawowe definicje związane z kołem i okręgiem, twierdzenie o stycznej, wzajemne położenie dwóch okręgów, a także kąt wpisany i środkowy. W części drugiej video, ponad 2-godzinnej, omówione zostały twierdzenia o stycznej, siecznej i cięciwach oraz ważny temat okręgów wpisanych w trójkąt i opisanych na trójkącie.

Na ponad 100 przykładach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach.

Spis treści cz. 1:

• Podstawowe pojęcia: okrąg, promień okręgu, cięciwa, średnica, łuk okręgu, długość okręgu [02:30]
• Zadanie 1: Długość okręgu, długość łuku, promienie – 5 przykładów [06:07]
• Cięciwa i promień: promień przechodzący przez środek cięciwy prostopadły do niej – dowód [09:08]
• Zadanie 2: odległość środka okręgu od cięciwy, promień okręgu, długość okręgu – 4 przykłady [14:00]
• Wzajemne położenie jednej prostej i okręgu [23:56]
• Zadanie 3: ustalenie wzajemnego położenia prostej k i okręgu – 3 przykłady [27:24]
• Zadanie 4: ustalenie wzajemnego położenia prostej k i okręgu o z parametrem a – 3 przykłady [32:34]
• Proste styczne do okręgu [45:34]
• Zadanie 5: styczna do okręgu, podany promień i odległość końca A średnicy od prostej, wyznaczenie odległości końca B od prostej [47:23]
• Twierdzenie o odcinkach stycznych wraz z dowodem [51:49]
• Zadanie 6: okrąg o podanym promieniu, poprowadzone dwie styczne z punktu poza okręgiem; pole czworokąta, kąt między stycznymi – 2 przykłady [55:13]
• Zadanie 7: styczne do okręgu poprowadzone z jednego punktu, dodatkowo trzecia styczna; obwód powstałego trójkąta [1:00:54]
• Zadanie 8: trójkąt opisany na okręgu, podane odcinki od wierzchołka do punktu styczności; obwód trójkąta [1:05:22]
• Zadanie 9: półokrąg wpisany w trójkąt prostokątny [1:08:10]
• Wzajemne położenie dwóch okręgów [1:12:16]
• Zadanie 10: ustalenie wzajemnego położenia okręgów – 5 przykładów [1:21:00]
• Zadanie 11: ustalenie wzajemnego położenia okręgów w zależności od parametru a – 2 przykłady [1:28:17]
• Zadanie 12: okręgi styczne zewnętrznie lub wewnętrznie – 3 przykłady [1:38:36]
• Zadanie 13: dwa okręgi współśrodkowe, cięciwa styczna do mniejszego okręgu [1:41:54]
• Zadanie 14: trzy okręgi, dwa styczne zewnętrznie, jednocześnie styczne [1:43:54]
  wewnętrznie do trzeciego, promień największego okręgu
• Zadanie 15: trzy okręgi styczne zewnętrznie do siebie, pole i obwód trójkąta utworzonego przez środki okręgów [1:47:17]
• Zadanie 16: dwa okręgi styczne zewnętrznie, prosta styczna do ich, pole utworzonego czworokąta (pole trapezu) [1:50:46]
• Wspólne styczne dwóch okręgów [1:55:53]
• Zadanie 17: dwa okręgi rozłączne, narysowana styczna wewnętrznie, odległość między punktami styczności [2:00:10]
• Koło [2:05:28]
• Zadanie 18: pole pierścienia kołowego – 2 przykłady [2:08:11]
• Kąt środkowy [2:12:44]
• Zadanie 19: kąt środkowy, długość łuku – 3 przykłady [2:15:39]
• Wycinek koła [2:19:23]
• Zadanie 20: wycinek koła, pole wycinka – 2 przykłady [2:22:25]
• Zadanie 21: okrąg wpisany w wycinek koła – 2 przykłady [2:25:42]
• Odcinek koła [2:32:36]
• Zadanie 22: pola odcinków koła o podanym kącie środkowym i promieniu [2:38:20]
• Kąt wpisany [2:42:26]
• Kąt wpisany i kąt środkowy oparte na tym samym łuku – własność z dowodem [2:43:20]
• Kąty wpisane oparte na tym samym łuku – własność z dowodem [2:52:24]
• Kąt wpisany oparty na półokręgu [2:53:55]
• Zadanie 23: kąty w okręgu – 9 przykładów [2:55:49]
• Zadanie 24: wyznaczenie miar kątów trójkąta – 2 przykłady [3:08:00]
• Zadanie 25: zaznaczone kąty w okręgu – 3 przykłady [3:11:27]
• Zadanie 26: podział okręgu na równych 12 łuków, miary kątów – 4 przykłady [3:15:24]
• Zadanie 27: trójkąt wpisany w okrąg, kąty, długości łuków – 2 przykłady [3:21:12]
• Zadanie 28: dwie cięciwy przecinające się w jednym punkcie, trójkąty podobne [3:27:46]
• Kąt dopisany do okręgu – własność z dowodem [3:34:14]
• Zadanie 29: kąty w okręgu ze styczną – 3 przykłady [3:40:31]

Spis treści cz. 2:

• Twierdzenie o stycznej i siecznej – własność z dowodem [01:32]
• Zadanie 30: zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej – 3 przykłady [10:41]
• Twierdzenie o siecznych – własność z dowodem [15:28]
• Zadanie 31: zastosowanie twierdzenia o siecznych – 3 przykłady [17:38]
• Twierdzenie o cięciwach – własność z dowodem [21:15]
• Zadanie 32: zastosowanie twierdzenia o cięciwach – 3 przykłady [25:26]
• Zadanie 33: zastosowanie twierdzenia o siecznych, obliczenie promienia [30:45]
• Zadanie 34: zastosowanie twierdzenia o cięciwach [34:45]
• Zadanie 35: zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej [38:10]
• Okrąg opisany na trójkącie [43:11]
• Okręgi opisane na różnych trójkątach – długość promienia R [47:50]
• Zadanie 36: długość promienia okręgu opisanego na trójkącie – 5 przykładów [52:21]
• Zadanie 37: długość boku trójkąta równobocznego, okrąg opisany – 2 przykłady [1:04:42]
• Zadanie 38: promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, odległość środka okręgu od jego boków [1:08:19]
• Zadanie 39: okrąg opisany na trójkącie prostokątnym – 4 przykłady [1:13:23]
• Twierdzenie sinusów [1:23:11]
• Pole trójkąta wpisanego w okrąg [1:24:49]
• Okrąg wpisany w trójkąt [1:26:31]
• Okręgi wpisane w różne trójkąty – długość promienia r [1:32:15]
• Zadanie 40: długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt – 4 przykłady [1:37:28]
• Zadanie 41: długość boku trójkąta równobocznego, okrąg wpisany – 2 przykłady [1:44:18]
• Zadanie 42: okrąg wpisany w trójkąt prostokątny – 4 przykłady [1:46:54]
• Zadanie 43: okrąg wpisany w trójkąt równoramienny – 2 przykłady [1:54:18]
• Zadanie 44: trójkąt, podane trzy boki, długości odcinków na które punkty styczności z okręgiem wpisanym podzieliły boki trójkąta (tw. o odcinkach stycznych) [2:01:09]
• Zadanie 45: trójkąt o podanych kątach, kąty trójkąta utworzonego przez punkty styczności z okręgiem wpisanym oraz okręgiem opisanym – 2 przykłady [2:03:21]
• Pole trójkąta opisanego na okręgu [2:10:55]

Ostatnia z lekcji rozszerzonych typowo tematycznych – okręgi i koła.

Podczas tego lekko ponad 3-godzinowego nagrania omawiam 36 zadań, w których m.in. pokazuję zagadnienia z lekcji podstawowej w nieco innym i trudniejszym kontekście. Do tego omawiam szeroko temat okręgów wpisanych w czworokąt i opisanych na czworokącie.

Spis treści:

• Zadanie 1: dwie równoległe cięciwy, odległość między nimi [02:26]
• Zadanie 2: wzajemne położenie dwóch okręgów w zależności od parametru a [07:28]
• Zadanie 3: dwa okręgi styczne zewnętrznie, poprowadzone styczne do tych okręgów, wyznaczenie długości danych odcinków [21:48]
• Zadanie 4: styczne do okręgów i sieczne, zastosowanie twierdzeń o stycznej i siecznej, o siecznych, twierdzenia cosinusów [32:28]
• Zadanie 5: trapez równoramienny ABCD, poprowadzona przekątna, promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC [39:08]
• Zadanie 6: trójkąt prostokątny, dwusieczna kąta ostrego podzieliła przeciwległy bok na dwa odcinki; stosunek promienia okręgu opisanego do promienia okręgu wpisanego [47:25]
• Zadanie 7: trójkąt równoboczny, podzielony na dwa trójkąty; stosunek promieni okręgów opisanych na nich – twierdzenie sinusów [55:11]
• Zadanie 8: dwa okręgi styczne zewnętrznie do siebie, prosta styczna do nich; promień okręgu stycznego do tych trzech obiektów – twierdzenie Pitagorasa [59:56]
• Okrąg opisany na czworokącie [1:08:31]
• Zadanie 9: czy na czworokącie o podanych kątach można opisać okrąg – 4 przykłady [1:21:23]
• Zadanie 10: okrąg opisany na czworokącie, miary kątów wewnętrznych – 2 przykłady [1:24:29]
• Zadanie 11: w trójkącie poprowadzono dwie wysokości; czy da się opisać okrąg na wybranym czworokącie – 2 przykłady [1:28:41]
• Zadanie 12: okrąg opisany na czworokącie, podane przekątna, promień i iloczyn sinusów kątów; długość drugiej przekątnej – twierdzenie sinusów [1:36:53]
• Okrąg opisany na kwadracie i na prostokącie [1:42:52]
• Okrąg opisany na trapezie [1:45:36]
• Zadanie 13: trapez równoramienny wpisany w okrąg, podany promień i odległości środka okręgu od podstaw; obwód trapezu [1:48:39]
• Zadanie 14: trapez równoramienny o podanych podstawach i ramieniu; promień okręgu opisanego na tym trapezie [1:53:20]
• Zadanie 15: trapez o podanej podstawie i wysokości, opisano na nim okrąg; pole trapezu (2 przypadki) [1:57:03]
• Zadanie 16: trapez równoramienny o podanej przekątnej i promieniu okręgu opisanego; pole trapezu [2:02:09]
• Zadanie 17: trapez o podanych podstawach i wysokości, opisano na nim okrąg; promień okręgu oraz odległość środka od ramienia [2:06:00]
• Okrąg wpisany w czworokąt [2:11:38]
• Zadanie 18: czy w czworokąt o podanych bokach można wpisać okrąg – 4 przykłady [2:17:21]
• Zadanie 19: okrąg wpisany w czworokąt, miary kątów wewnętrznych – 2 przykłady [2:20:27]
• Zadanie 20: trapez opisany na okręgu, podana długość odcinka łączącego środki ramion; obwód trapezu [2:22:49]
• Okrąg wpisany w kwadrat i w romb [2:25:41]
• Zadanie 21: okrąg wpisany w romb i kwadrat – 2 przykłady [2:28:18]
• Okrąg wpisany w trapez [2:30:43]
• Zadanie 22: trapez prostokątny opisany na okręgu, długość dłuższego ramienia; pole i obwód trapezu [2:34:18]
• Zadanie 23: trapez o polu P i kątach ostrych przy podstawie; promień okręgu wpisanego [2:38:25]
• Zadanie 24: okrąg wpisany w romb; punkt styczności podzielił bok na dwa odcinki; pole rombu i długości jego przekątnych [2:45:20]
• Zadanie 25: trapez równoramienny o podanym ramieniu i przekątnej; promienie okręgów wpisanego i opisanego na tym trapezie [2:50:02]
• Zadanie 26: trójkąt równoramienny, na jego ramieniu opisano okrąg; pole powstałego czworokąta [2:54:18]

Po zapoznaniu się z wszystkimi pięcioma lekcjami tematycznymi czas na wykorzystanie danych twierdzeń i własności w dowodach w planimetrii. 

W lekcji szóstej podstawowej, zawierającej ponad 3 godzinne video, omawiam 30 zadań z wybranymi dowodami matematycznymi. Chcę Ci tutaj pokazać w jaki sposób podchodzić do tego typu zadań i o czym warto pamiętać przy dowodach. 

Spis treści:

• Zadanie 1: obwód trójkąta jest większy niż dwukrotność środkowej tego trójkąta (nierówność trójkąta) [04:43]
• Zadanie 2: trójkąt równoboczny – punkt wewnątrz trójkąta, suma jego odległości od boków trójkąta jest stała i nie zależy od wyboru tego punktu [10:41]
• Zadanie 3: trapez – dwusieczne kątów leżących przy jednym ramieniu przecinają się pod kątem prostym [17:20]
• Zadanie 4: równoległobok – kąt pomiędzy wysokościami poprowadzonymi z jednego wierzchołka równy mierze kąta ostrego [20:37]
• Zadanie 5: trójkąt – dwusieczne kątów tworzą trzy trójkąty rozwartokątne [25:52]
• Zadanie 6: trójkąt – środkowe dzielą go na sześć trójkątów o równych polach [35:15]
• Zadanie 7: trapez – punkt na środku ramienia, zależność między polem trójkąta, a polem trapezu [48:14]
• Zadanie 8: równoległobok – punkt na przekątnej, równość pól dwóch trójkątów [54:37]
• Zadanie 9: trójkąt – punkty na bokach w odpowiednich proporcjach, pole czworokąta jest 5 razy większe od pola trójkąta [1:00:05]
• Zadanie 10: na bokach kwadratu oraz na odcinku zbudowano dwa trójkąty równoboczne, wskazany trójkąt też jest równoboczny – 2 przykłady [1:05:19]
• Zadanie 11: czworokąt – poprowadzone przekątne, iloczyny pól przeciwległych trójkątów są równe [1:15:25]
• Zadanie 12: trójkąt – poprowadzona prosta przechodząca przez środek boku, odległości punktów od prostej są równe [1:21:47]
• Zadanie 13: trójkąt – dwusieczne dwóch kątów, prosta równoległa do boku przechodząca przez przecięcie dwusiecznych, zależności na odcinkach [1:25:52]
• Zadanie 14: trójkąt rozwartokątny – na najdłuższym boku odłożono odcinki równe dwóm pozostałym bokom, miara wskazanego kąta [1:29:06]
• Zadanie 15: trójkąt – jeśli środkowa równa jest połowie boku na który pada, to kąt jest prosty [1:38:05]
• Zadanie 16: trójkąt – dwusieczna, kąt przy podstawie równy połowie kąta z którego wychodzi dwusieczna, zależności na bokach [1:43:28]
• Zadanie 17: trójkąt prostokątny – wysokość podzieliła przeciwprostokątną w stosunku 1:3, zależności na kątach [1:48:04]
• Zadanie 18: trójkąt równoramienny – podział wysokości na pół, punkt na ramieniu taki, że wyszedł kąt prosty, zależność między odcinkami (trójkąty podobne) [1:54:23]
• Zadanie 19: równoległobok – na przedłużeniu boku odłożono punkt, poprowadzono prostą, która przecina drugi bok w połowie [2:00:03]
• Zadanie 20: równoległobok – na bokach zbudowano trójkąty równoboczne, równość odpowiednich odcinków [2:05:39]
• Zadanie 21: czworokąt – poprowadzone przekątne, jeśli zachodzą zależności na kątach, to wskazany trójkąt jest równoramienny [2:12:52]
• Zadanie 22: okrąg – dwie cięciwy przecinające się, podobieństwo trójkątów [2:15:53]
• Zadanie 23: okrąg opisany na czworokącie – poprowadzone przekątne, zależności na kątach [2:20:17]
• Zadanie 24: okrąg opisany na czworokącie – bok jest średnicą, zależności na odcinkach (trójkąt prostokątny wpisany w okrąg) [2:25:25]
• Zadanie 25: dwa okręgi styczne wewnętrznie, poprowadzona cięciwa, zależności na odcinkach [2:28:21]
• Zadanie 26: dwa okręgi przecinające się, średnice, współliniowość punktów [2:32:55]
• Zadanie 27: dwa okręgi styczne zewnętrznie, kąt przecięcia stycznej zewnętrznej i prostej przechodzącej przez środki okręgów [2:36:37]
• Zadanie 28: w kwadrat wpisane dwa okręgi, zależność mniejszego promienia [2:44:01]
• Zadanie 29: okrąg – styczna i cięciwa, zależności między odcinkami [2:50:12]
• Zadanie 30: dowód Twierdzenia Pitagorasa [2:55:34]

Po zapoznaniu się z wszystkimi pięcioma lekcjami tematycznymi czas na wykorzystanie danych twierdzeń i własności w dowodach w planimetrii. 

W lekcji szóstej rozszerzonej, zawierającej prawie 2,5 godzinne video, omawiam 20 zadań z wybranymi dowodami matematycznymi. Chcę Ci tutaj pokazać w jaki sposób podchodzić do tego typu zadań i o czym warto pamiętać przy dowodach. Koniecznie przerób Lekcję podstawową z dowodami.

Spis treści:

• Zadanie 1: trójkąt – wysokość jest mniejsza od średniej arytmetycznej dwóch boków wychodzących z tego samego wierzchołka [05:11]
• Zadanie 2: trójkąt – środkowa jest mniejsza od średniej arytmetycznej dwóch boków wychodzących z tego samego wierzchołka [12:08]
• Zadanie 3: czworokąt – środki przeciwległych boków i środki przekątnych, równość odpowiednich odcinków [16:14]
• Zadanie 4: równoległobok – na bokach zbudowano kwadraty, relacje na odcinkach [20:28]
• Zadanie 5: równoległobok – suma kwadratów długości jego boków jest równa sumie kwadratów długości przekątnych [25:43]
• Zadanie 6: trójkąt – środek ciężkości, równe pola trójkątów [29:36]
• Zadanie 7: równoległobok – środki boków połączone z wierzchołkiem, odcinki dzielą przekątną na trzy równe części [36:56]
• Zadanie 8: czworokąt – przekątne, jeśli pola dwóch przeciwległych trójkątów są równe, to równe są odpowiednie kąty [43:11]
• Zadanie 9: trapez równoramienny – podana wysokość w zależności od podstaw, okrąg wpisany w trapez [51:32]
• Zadanie 10: czworokąt opisany na okręgu, przekątne prostopadłe, jedna z przekątnych jest osią symetrii [54:52]
• Zadanie 11: trapez wpisany w okrąg, podstawa jest średnicą, przedłużono ramiona, punkt ich przecięcia, punkt przecięcia przekątnych i spodek wysokości są współliniowe [1:01:37]
• Zadanie 12: trójkąt ostrokątny – poprowadzone wysokości, równość kątów [1:07:39]
• Zadanie 13: okrąg wpisany w trójkąt, poprowadzona środkowa przecinająca okrąg w dwóch punktach, środek okręgu leży na wskazanej wysokości [1:12:38]
• Zadanie 14: trójkąt prostokątny – poprowadzono różne wysokości, podobieństwo trójkątów [1:19:01]
• Zadanie 15: okrąg – poprowadzone styczne i sieczne, wskazany czworokąt jest trapezem [1:24:26]
• Zadanie 16: trójkąt – podane dwa kąty, pole można wyrazić danym wzorem [1:30:54]
• Zadanie 17: trójkąt prostokątny – poprowadzona dwusieczna i symetralna, zależności na odcinkach [1:39:11]
• Zadanie 18: twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego [1:48:27]
• Zadanie 19: trójkąt równoboczny – odłożono punkty równe ¼ boku, poprowadzono odcinki, pole czworokąta jest 12 razy większe od pola wskazanego trójkąta [1:55:47]
• Zadanie 20: trójkąt – zależność między promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a wysokościami [2:12:44]