Kurs Planimetria: Wprowadzenie, Trójkąty i Czworokąty

Zobacz wszystkie Kursy

Lekcja wprowadzająca do tematu planimetrii, tym razem z poziomu rozszerzonego. Zawiera prawie 3-godzinne video, w którym na 44 przykładach rozwijam temat przedstawiony w lekcji podstawowej. Uzupełniam go dodatkowo o wektory i działania na wektorach.

Spis treści:

• Zadanie 1: odcinki (długość odcinka), odległość na prostej – 7 przykładów [05:24]
• Zadanie 2: proste, półproste, odcinki na dwóch prostych równoległych [20:19]
• Zadanie 3: proste i półproste poprowadzone przez n punktów – 2 przykłady [25:16]
• Zadanie 4: liczba przekątnych wielokąta [29:32]
• Zadanie 5: kąty w wielokącie, przekątne w wielokącie (własności) – 4 przykłady [34:16]
• Suma miar kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego – dowód [48:55]
• Zadanie 6: figury ograniczone i nieograniczone, działania – 6 przykładów [56:34]
• Konstrukcja odcinka o określonej długości, przy wykorzystaniu twierdzenia Talesa – 3 przykłady [1:05:55]
• Symetria środkowa a symetria osiowa [1:18:23]
• Wektor na płaszczyźnie: definicja, własności, równoległość i prostopadłość, równość wektorów [1:23:14]
• Dodawanie wektorów [1:33:25]
• Wektory przeciwne [1:36:26]
• Odejmowanie wektorów [1:38:48]
• Iloczyn wektora przez liczbę [1:41:00]
• Własności działań na wektorach [1:44:55]
• Zadanie 7: działania na zadanych wektorach – 7 przykładów [1:48:00]
• Zadanie 8: podany wektor AB, wyznacz punkt C aby zachodziła podana równość – 3 przykłady [1:58:32]
• Zadanie 9: zależności pomiędzy wektorami – 5 przykładów [2:10:08]
• Zadanie 10: wektory w planimetrii (równoległobok) [2:18:44]
• Zadanie 11: wektory w planimetrii (trapez) [2:29:02]
• Zadanie 12: wektory w planimetrii (sześciokąt foremny) [2:37:19]
• Zadanie 13: wektory w planimetrii (trójkąt) [2:41:06]

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Pierwsza część poświęcona jest podstawowym własnościom i rodzajom trójkątów. Na 2,5-godzinnej lekcji pokazuję dużo teorii, którą przedstawiam potem na 34 przykładach.

Spis treści:

• Definicja trójkąta i jego oznaczenia [06:44]
• Podział trójkątów [11:18]
• Zadanie 1: wyznaczanie miar kątów trójkąta (z rysunku) – 3 przykłady [20:35]
• Zadanie 2: wyznaczanie miar kątów trójkąta (z opisu słownego) – 4 przykłady [30:35]
• Zależności między bokami i kątami trójkąta [42:42]
• Zadanie 3: wyznaczanie miar kątów trójkąta (zależności między bokami i kątami) – 4 przykłady [46:40]
• Zadanie 4: sprawdzanie, czy trójkąt jest równoramienny – 2 przykłady [55:37]
• Zadanie 5: zależności między długością boku a kątem – 2 przykłady [1:00:40]
• Nierówność trójkąta [1:07:37]
• Zadanie 6: sprawdzanie, czy podane trzy długości mogą być bokami trójkąta – 5 przykładów [1:10:32]
• Zadanie  7: obwód trójkąta równoramiennego o podanych dwóch bokach – 2 przykłady [1:24:04]
• Zadanie 8: boki trójkąta zależne od kątów, z zastosowaniem nierówności trójkąta – 2 przykłady [1:27:43]
• Wnioski z nierówności trójkąta (z przykładem) [1:34:18]
• Odcinek łączący środki boków trójkąta [1:40:35]
• Zadanie 9: zastosowanie własności o odcinku łączącym środki boków [1:45:23]
• Twierdzenie Pitagorasa (z przykładami) [1:48:41]
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa [1:53:01]
• Zadanie 10: zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do wyznaczania długości boków trójkąta – 3 przykłady [1:55:21]
• Zadanie 11: wyznaczanie x, aby podane liczby były długościami boków trójkąta prostokątnego – 2 przykłady [2:09:52]
• Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do określania kątów w trójkącie [2:15:02]
• Zadanie 12: sprawdzanie rodzaju trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) – 4 przykłady [2:20:27]

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Druga część poświęcona jest szczególnych odcinkom rysowanych w trójkącie, mianowicie: wysokościom, środkowym, dwusiecznym kątów oraz symetralnym boków.

Na ponad 2-godzinnej lekcji omawiam wszystkie te odcinki i pokazuję ich zastosowanie w zadaniach, na 24 przykładach.

Spis treści:

• Wysokości w trójkącie [00:22]
• Wysokości w trójkącie równoramiennym i równobocznym [06:59]
• Wysokości w trójkącie prostokątnym [10:32]
• Zadanie 13: obliczanie długości wysokości lub boków w trójkątach – 6 przykładów [15:57]
• Trójkąty ekierkowe 30,60,90 i 45,45,90 [29:22]
• Zadanie 14: trójkąt o boku 12 i kącie 60 stopni, wyznacz obwód (3 wersje rozwiązania) [37:23]
• Zadanie 15: wyliczanie wysokości z wykorzystaniem trójkątów ekierkowych – 3 przykłady [39:35]
• Środkowe trójkąta [44:44]
• Punkt przecięcia środkowych (własność wraz z dowodem) [49:20]
• Środkowe w trójkącie równoramiennym i równobocznym [56:56]
• Środkowe w trójkącie prostokątnym [59:34]
• Zadanie 16: obliczanie długości środkowych lub boków w trójkątach – 5 przykładów [1:01:46]
• Zadanie 17: wysokości i ich własności w trójkącie równobocznym – 4 przykłady [1:19:20]
• Symetralne boków trójkąta [1:27:12]
• Dwusieczne kątów trójkąta [1:29:06]
• Zadanie 18: miary kątów w trójkącie, z dwusiecznymi – 2 przykłady [1:30:16]
• Twierdzenie o dwusiecznej wraz z dowodem [1:40:17]
• Zadanie 19: długości boków z wykorzystaniem twierdzenia o dwusiecznej – 3 przykłady [1:51:39]
• Odcinki w trójkącie – podsumowanie: wysokości, środkowe, symetralne, dwusieczne [2:03:25]
• Osie symetrii trójkąta [2:08:20]

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Trzecia jej część poświęcona jest bardzo ważnemu tematowi: przystawaniu i podobieństwie trójkątów. Temat szczególnie wykorzystywany np. w dowodach w planimetrii.

Na blisko 2-godzinnej lekcji omawiam na 24 przykładach sposoby znajdywania trójkątów podobnych i przystających.

Spis treści:

• Przystawanie trójkątów [01:16]
• Cechy przystawania trójkątów [04:22]
• Zadanie 20: sprawdzenie, czy podane trójkąty są przystające – 5 przykładów [10:02]
• Zadanie 21: dowód, że przekątna równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające [17:04]
• Zadanie 22: podział trójkąta prostokątnego na dwa trójkąty przystające [21:37]
• Podobieństwo trójkątów [27:12]
• Cechy podobieństwa trójkątów [37:35]
• Zadanie 23: sprawdzenie, czy podane trójkąty są podobne – 5 przykładów [43:12]
• Zadanie 24: trójkąty podobne, wyznaczanie długości boków – 3 przykłady [50:08]
• Zadanie 25: trójkąty podobne, obwód w skali podobieństwa [58:48]
• Zadanie 26: sprawdzanie czy trójkąty są podobne (kąt-kąt-kąt) – 2 przykłady [1:01:02]
• Zadanie 27: wykazywanie, że wysokość prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne [1:05:35]
• Zadanie 28: podobieństwo trójkątów w trójkącie równoramiennym [1:15:01]
• Zadanie 29: kwadrat wpisany w trójkąt równoramienny [1:24:04]
• Zadanie 30: trójkąty podobne w trapezie [1:29:31]
• Zadanie 31: okręgi styczne do siebie i do prostych [1:39:52]
• Zadanie 32: trójkąt powstały z połączenia środków boków trójkąta [1:45:56]

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Część czwarta poświęcona jest szczególnemu tematowi – twierdzeniu sinusów i cosinusów. Temat ten wcześniej obowiązywał uczniów z poziomu rozszerzonego. Według nowej podstawy programowej, obowiązującej od matury w 2023 roku, temat ten przeszedł na poziom podstawowy.

Na blisko 2-godzinnej lekcji omawiam na 13 przykładach sposób stosowania tych twierdzeń w trójkątach.

Spis treści:

• Twierdzenie sinusów [01:31]
• Dowód twierdzenia sinusów (3 przypadki) [04:18]
• Zadanie 33 (a): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [22:26]
• Zadanie 33 (b): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [25:31]
• Zadanie 33 (c): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [28:50]
• Zadanie 33 (d): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [34:18]
• Zadanie 33 (e): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [37:05]
• Zadanie 33 (f): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [43:16]
• Twierdzenie cosinusów [53:02]
• Twierdzenie cosinusów a twierdzenie Pitagorasa [54:22]
• Dowód twierdzenia cosinusów (3 przypadki) [57:07]
• Wnioski z twierdzenia cosinusów [1:12:03]
• Zadanie 34: zastosowanie twierdzenia cosinusów w zadaniach – 3 przykłady [1:14:14]
• Zastosowanie twierdzenia cosinusów do określania kątów w trójkącie (dowód) [1:24:27]
• Zadanie 35: zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów w zadaniach – 4 przykłady [1:31:11]

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Część piąta, ostatnia, poświęcona jest polu trójkąta. Temat z przedstawieniem wielu wzorów i różnego ich zastosowania.

Omawiam ten temat na prawie 3,5-godzinnej lekcji na 35 zadaniach i przykładach.

Spis treści:

• Pole figury płaskiej [00:48]
• Obliczanie pola figury [03:40]
• Pole trójkąta – wzór 1 [06:25]
• Zadanie 36: zastosowanie wzoru na pole w trójkącie równoramiennym, wyznaczenie wysokości padającej na ramię [13:53]
• Zadanie 37: zależności między polami trójkątów, a długością podstawy podzielonej odcinkiem w stosunku [17:29]
• Zadanie 38: pola trójkątów, a długość podstawy podzielona wysokością w stosunku [20:42]
• Zadanie 39: czworokąt podzielony przez przekątne na cztery trójkąty, podane pola trzech, wyznacz pole czwartego trójkąta [25:07]
• Pole trójkąta równobocznego i prostokątnego [32:14]
• Zadanie 40: trójkąt równoboczny – pole, a wysokość lub długość boku – 3 przykłady [36:02]
• Zadanie 41: trójkąt prostokątny – pole, a wysokość z kąta prostego lub jego przyprostokątne – 2 przykłady [40:06]
• Pole trójkąta – wzór 2 (wraz z dowodem) [43:41]
• Zadanie 42: obliczanie pola trójkąta o podanych dwóch bokach i kącie między nimi – 4 przykłady [50:27]
• Zadanie 43: wyznaczanie różnych wartości w trójkącie mając zadane pole – 2 przykłady [1:01:54]
• Zadanie 44: wyznaczanie promienia okręgu opisanego na trójkącie o podanym polu i dwóch bokach [1:08:41]
• Zadanie 45: zastosowanie wzoru na pole trójkąta i twierdzenie cosinusów [1:18:38]
• Zadanie 46: zastosowanie wzoru na pole trójkąta i twierdzenie cosinusów, podział trójkąta wysokością na dwa mniejsze [1:23:23]
• Pole trójkąta – wzór 3 oraz wzór 4 [1:30:11]
• Zadanie 47: zależności między polem trójkąta, a okręgiem wpisanym w ten trójkąt – 2 przykłady [1:36:44]
• Zadanie 48: zależność między polem trójkąta, a okręgiem opisanym na tym trójkącie [1:39:06]
• Zadanie 49: trójkąt równoramienny, wyznaczanie zależności między polem, a promieniem okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie [1:42:04]
• Pole trójkąta – wzór 5 (wzór Herona), wzór 6 oraz wzór 7 [1:44:51]
• Zadanie 50: trójkąt o podanych trzech bokach, obliczenie wysokości [1:53:07]
• Zadanie 51: trójkąt o podanych trzech bokach, obliczenie promienia okręgu wpisanego w trójkąt i opisanego na trójkącie [1:58:53]
• Wzory na pole trójkąta w tablicach maturalnych [2:02:50]
• Pola trójkątów podobnych [2:08:44]
• Zadanie 52: podobieństwo trójkątów: pole i obwód – 2 przykłady [2:13:54]
• Zadanie 53: trójkąt podzielony odcinkiem równoległym do boku, obliczanie pól powstałych figur z podobieństwa trójkątów [2:19:52]
• Zadanie 54: podział trójkąta na trzy części, stosunek pól tych figur [2:28:00]
• Zadanie 55: znajdywanie skali podobieństwa trójkątów mając podane pola [2:35:12]
• Zadanie 56: trójkąt równoramienny, podana zależność między polami wewnętrznych trójkątów oraz jego obwód, wyznaczenie długości boków trójkąta [2:40:40]
• Zadanie 57: trójkąt prostokątny podzielony wysokością poprowadzoną z kąta prostego, pola powstałych trójkątów [2:47:16]
• Zadanie 58: trójkąt prostokątny podzielony odcinkiem z kąta prostego równym jednej z przyprostokątnych, podane pola powstałych trójkątów, wyznaczanie przyprostokątnych największego trójkąta [2:53:59]
• Zadanie 59: trójkąt prostokątny podzielony na dwa trójkąty [3:01:53]
• Zadanie 60: trójkąty podobne w trapezie, utworzone przez przekątne i podstawy [3:06:28]
• Zadanie 61: trójkąty podobne w trapezie, utworzone przez przekątne i podstawy oraz przez wysokość trapezu [3:12:43]

Lekcja druga rozszerzona stanowi uzupełnienie lekcji podstawowej (rozdzielonej na 5 części) o trudniejsze przykłady.

Przez ponad 2,5 godziny, na 24 przykładach, pokazuję zastosowanie poznanych przez Ciebie już pojęć w bardziej wymagających zadaniach.

Spis treści:

• Zadanie 1: twierdzenie sinusów i cosinusów: boki jako kolejne trzy liczby parzyste, jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego [03:05]
• Zadanie 2: twierdzenie sinusów: trójkąt równoboczny, podział boku w stosunku 1:3, miara jednego z kątów powstałego trójkąta [10:22]
• Zadanie 3: trójkąt prostokątny, poprowadzony odcinek z kąta ostrego taki, że powstał trójkąt równoramienny, cosinus kąta między jego ramionami [20:21]
• Zadanie 4: twierdzenie cosinusów: przedłużenie jednego z boków trójkąta, powstał trójkąt równoramienny, długość tego ramienia [26:19]
• Zadanie 5: trójkąt prostokątny ABC, na przeciwprostokątnej zbudowano trójkąt równoboczny ABD, którego pole jest trzy razy większe niż ABC, miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego [30:56]
• Zadanie 6: podział trójkąta na trzy trójkąty o równych polach, odległość punktu S od kąta prostego [41:17]
• Zadanie 7: trójkąt równoboczny, odległości punktu od boków: x, y i z, pole trójkąta [49:03]
• Zadanie 8: trójkąt równoramienny, środkowe na ramię, pole całego trójkąta ABC  [54:57]
• Zadanie 9: trójkąt, poprowadzone środkowe z wierzchołków, stosunek pól dwóch powstałych trójkątów [1:02:16]
• Zadanie 10: symetralne boków, punkt ich przecięcia jest równoodległy od wierzchołków tego trójkąta [1:10:43]
• Zadanie 11: dwusieczne kątów trójkąta, punkt ich przecięcia jest równoodległy od boków tego trójkąta [1:18:16]
• Zadanie 12: dwusieczna kąta podzieliła trójkąt na dwa mniejsze, długość odcinka jaki tworzy dwusieczna kąta wewnątrz trójkąta w zależności od boków a, b, c [1:24:53]
• Zadanie 13: trójkąt prostokątny, wysokość z kąta prostego, stosunek odcinków na jakie ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną [1:36:36]
• Zadanie 14: trójkąt podzielony symetralną jednego z boków, pola otrzymanych figur [1:43:04]
• Zadanie 15: trójkąt o podanych bokach, na jakie pola podzieliła symetralna boku [1:47:10]
• Zadanie 16: trójkąt, punkt E na środkowej połączony z wierzchołkiem, wyznacza na drugim boku punkt F, stosunek długości boków [1:54:41]
• Zadanie 17: trójkąt, wydzielony w nim równoległobok, obwód czworokąta [2:03:26]
• Zadanie 18: trapez, odcinek łączący środki ramion – 5 przykładów [2:08:38]
• Zadanie 19: suma dwóch boków i kąt między tymi bokami, największe możliwe pole, najmniejszy możliwy obwód – 2 przykłady [2:29:44]
• Zadanie 20: trójkąt w trójkącie równobocznym [2:37:48]

Po trójkątach czas na czworokąty. Lekcja trzecia podstawowa podzielona jest na 2 odrębne części.

Pierwsza część poświęcona jest podstawowym własnościom i podziałowi czworokątów. Podczas ponad 2,5-godzinnej lekcji pokazuję na 30 przykładach jak wykorzystać wszystkie własności w trapezie, równoległoboku, w rombie, prostokącie czy w kwadracie.

Spis treści:

• Podział czworokątów [03:15]
• Zadanie 1: podział czworokąta przekątną na dwa trójkąty, podane ich obwody [11:35]
• Kąty w czworokątach [14:48]
• Zadanie 2: wyznaczanie miar kątów czworokąta – 2 przykłady [19:47]
• Deltoid – definicja i własności [23:22]
• Zadanie 3: kąty oraz obwód deltoidu [28:51]
• Trapez – definicja i rodzaje trapezów [35:44]
• Trapez – podstawowe własności [38:24]
• Trapez równoramienny – własności [42:08]
• Odcinek łączący środki przekątnych trapezu (dowód własności) [45:33]
• Zadanie 4: trapez równoramienny, podane kąty ostre i wysokość, obliczenie obwodu [51:47]
• Zadanie 5: trapez prostokątny, podany kat ostry, obliczenie obwodu  [53:39]
• Zadanie 6: trapez, podane proporcje podstaw i odcinek łączący środki ramion, obliczenie długości krótszej podstawy [58:47]
• Zadanie 7: trapez, podane długości podstaw i ramion, obliczenie wysokości [1:00:15]
• Zadanie 8: trapez równoramienny, podana przekątna i odcinek łączący środki ramion, obliczenie wysokości [1:04:31]
• Trójkąty w trapezie utworzone przez przekątne [1:07:27]
• Zadanie 9: trapez, podane podstawy i przekątna, obliczenie długości odcinków, na jakie podzieliła się przekątna (trójkąty podobne) [1:12:30]
• Zadanie 10: trapez, podane proporcje odcinków, na jakie podzieliła się przekątna (trójkąty podobne), obliczenie długości podstaw trapezu [1:16:10]
• Zadanie 11: trapez prostokątny, przekątna jest dwusieczną kąta rozwartego, podana wysokość, obliczenie obwodu [1:18:52]
• Zadanie 12: trapez prostokątny, podane kąt nachylenia przekątnej do podstawy, zależności podstaw i przekątna, obliczenie obwodu [1:22:26]
• Zadanie 13: trapez, podane podstawy i proporcje długości ramion oraz dwa kąty, obliczenie długości ramion [1:25:55]
• Równoległobok – definicja i własności [1:30:13]
• Kiedy czworokąt jest równoległobokiem – własności [1:35:36]
• Zadanie 14: dowolny czworokąt o podanych przekątnych, obliczenie pola figury powstałej przez połączenie środków boków tego czworokąta [1:38:35]
• Zadanie 15: równoległobok, podane kąt między wysokościami i długości odcinków, na jakie dzieli bok krótsza wysokość, obliczenie długości tych wysokości [1:45:36]
• Zadanie 16: równoległobok, podana wysokość i odcinki, na jakie podzieliła bok, obliczenie długości przekątnych [1:50:02]
• Prostokąt, romb, kwadrat – definicja i własności [1:54:30]
• Zadanie 17: kwadrat, zależności między bokami a przekątną – 2 przykłady [1:57:56]
• Zadanie 18: romb, podany kąt ostry i wysokość, obliczenie przekątnych [2:02:44]
• Zadanie 19: romb, podany obwód i zależność między przekątnymi, obliczenie przekątnych [2:05:44]
• Zadanie 20: sprawdzanie prawdziwości stwierdzeń (własności czworokątów) – 6 przykładów [2:08:52]
• Podobieństwo czworokątów [2:14:26]
• Zadanie 21: podobieństwo prostokątów, skala podobieństwa [2:16:39]
• Złoty prostokąt [2:21:34]
• Złoty prostokąt – przykłady z życia codziennego [2:25:14]
• Zadanie 22: podobieństwo trapezów [2:29:59]
• Zadanie 23: podobieństwo równoległoboków [2:33:31]

Lekcja trzecia podstawowa dotyczy czworokątów i podzielona jest na 2 odrębne części.

Druga część poświęcona jest polu czworokątów. Podczas blisko 3-godzinnej lekcji pokazuję na 32 przykładach jak wykorzystać odpowiednie wzory na policzenie pola trapezu, równoległoboku, rombu, prostokąta czy kwadratu.

Spis treści:

• Pole prostokąta i kwadratu [00:43]
• Zadanie 24: pole prostokąta, z zależności narysowanych przekątnych – 3 przykłady [06:03]
• Zadanie 25: pole kwadratu, figura powstała z połączenia środków boku kwadratu [12:07]
• Zadanie 26: pola dwóch kwadratów, podana różnica pól, obliczenie boków [17:27]
• Zadanie 27: pole i obwód prostokąta, podana przekątna i wysokość z kąta prostego [24:21]
• Zadanie 28: prostokąt, obrany taki punkt na dłuższym boku, aby powstał kąt prosty, wykorzystanie trójkątów podobnych [30:22]
• Pole równoległoboku [34:14]
• Zadanie 29: pole równoległoboku, wykorzystanie podstawowych wzorów – 2 przykłady [42:56]
• Zadanie 30: pole równoległoboku, podane odległości punktu przecięcia przekątnych od boków i obwód [45:50]
• Zadanie 31: pole równoległoboku, podane kąt rozwarty, krótsza przekątna i wysokość [48:42]
• Zadanie 32: pole i obwód równoległoboku, podane krótsza przekątna i odcinki na jakie dzieli dłuższą przekątną odcinek prostopadły poprowadzony z kąta rozwartego [53:16]
• Zadanie 33: równoległobok, podane kąt ostry i obwód oraz inne własności, obliczenie boków wykorzystując wzór na pole oraz własności funkcji kwadratowej – 2 przykłady [57:09]
• Pole rombu [1:01:45]
• Zadanie 34: romb, podane przekątne, obliczenie boku, wysokości i pola [1:06:10]
• Zadanie 35: romb, podane przekątne, obliczenie wysokości oraz miary kąta ostrego [1:07:59]
• Zadanie 36: romb, podana suma przekątnych i kąt ostry lub pole rombu, obliczenie długości boku – 2 przykłady [1:11:26]
• Zadanie 37: romb, podany kąt rozwarty i odcinek łączący środki przyległych boków, obliczenie pola i przekątnych [1:19:34]
• Pole trapezu – wzór wraz z prostymi przykładami [1:23:09]
• Zadanie 38: pole trapezu równoramiennego, podane wysokość i przekątna [1:30:30]
• Zadanie 39: trapez, podane podstawa i jedno ramię oraz oba kąty ostre, obliczenie pola i obwodu [1:33:21]
• Zadanie 40: trapez, podane krótsza podstawa, wysokość i odcinek łączący środki przekątnych, obliczenie pola [1:38:07]
• Zadanie 41: trapez, podane dłuższa podstawa, ramię oraz przekątna prostopadła do tego ramienia, obliczenie pola trapezu i odległości wierzchołka D od przekątnej [1:42:14]
• Zadanie 42: trapez równoramienny, podane, że przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego oraz pole, obliczenie obwodu [1:48:48]
• Zadanie 43: trapez równoramienny, podane kąt ostry i obwód oraz pole, obliczenie długości boków – 2 przykłady [1:54:59]
• Zadanie 44: trapez równoramienny, podane podstawy i kąt ostry, obliczenie pola czworokąta powstałego przez połączenie środków boków [2:04:16]
• Zadanie 45: równoległobok, podane obwód i pole, a przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów, obliczenie długości przekątnych [2:09:47]
• Pole czworokąta [2:15:58]
• Zadanie 46: zastosowanie wzoru na pole czworokąta w trapezie równoramiennym – 2 przykłady [2:20:12]
• Zadanie 47: największe możliwe pole czworokąta o podanych przekątnych – 2 przykłady [2:26:17]
• Skala mapy [2:33:50]
• Pole obiektu na mapie [2:40:22]
• Skala powiększająca [2:44:36]

Lekcja trzecia rozszerzona dotyczy czworokątów.

Podczas blisko 2-godzinnej lekcji pokazuję zastosowanie wzorów na pola czworokątów, jak i również poznane ich własności. Duża część z 15 przykładów jest nieco trudniejsza, z racji ogólnych obliczeń na literkach.

Spis treści:

• Zadanie 1: prostokąt, na dłuższym boku zbudowano trójkąt równoboczny, zastosowanie trójkątów podobnych [02:34]
• Zadanie 2: równoległobok, podane boki oraz kąt przecięcia się przekątnych, obliczenie pola [08:27]
• Zadanie 3: równoległobok, podane kąt ostry i stosunek długości przekątnych, obliczenie stosunku długości boków [14:01]
• Zadanie 4: trapez, podane wysokość i przekątne, obliczenie pola [22:26]
• Zadanie 5: trapez o podstawach a i b, obliczenie długości odcinka równoległego do podstaw, przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych [26:34]
• Zadanie 6: trapez o podstawach a i b, obliczenie długości odcinka, jaki dzieli czworokąt na dwa trapezy o równych polach [37:38]
• Zadanie 7: trapez równoramienny o polu P, najmniejsza możliwa długość, jaką może przyjmować przekątna [44:45]
• Zadanie 8: trapez równoramienny, podane stosunek długości podstaw, przekątne przecinają się pod kątem prostym, obliczenie cosinusa kąta ostrego [53:04]
• Zadanie 9: trapez prostokątny, dwusieczne kątów przecinają się w punkcie E leżącym na prostopadłym ramieniu, obliczenie długości ramion oraz pola [57:44]
• Zadanie 10: trapez, podane pola dwóch trójkątów podobnych opartych o podstawy, obliczenie pola trapezu [1:05:02]
• Zadanie 11: trapez, podane pola dwóch trójkątów: opartego o podstawę i o ramię, obliczenie pola trapezu [1:13:44]
• Zadanie 12: trapez, podane podstawy i suma kątów ostrych równa 90°, obliczenie długości odcinka łączącego środki trapezu [1:22:18]
• Zadanie 13: trapez, podane pole i proporcja długości podstaw, obliczenie pól trójkątów powstałych przez przecięcie przekątnych [1:26:46]
• Zadanie 14: trapez prostokątny, podane podstawy i kąt nachylenia przekątnej, obliczenie pola i obwodu [1:36:54]
• Zadanie 15: trapez równoramienny, przekątna tworzy z ramieniem kąt prosty, podany kąt jej nachylenia do podstawy, obliczenie pola [1:40:59]