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सीमाएँ पाठ्यक्रम

Przykładowy fragment Kursu

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सीमाएँ पाठ्यक्रम एक बहु-माध्यमी शैक्षणिक कोर्स है, जिसे विषय-वार आठ पाठों में बाँटा गया है। पहला पाठ सीमाओं की गणना का परिचय कराता है, जबकि अंतिम पाठ फलनों की अविरलता (सततता) पर केंद्रित है।

इस पाठ्यक्रम में लगभग 350 मिनट की वीडियो रेकॉर्डिंग शामिल हैं, जिनमें मैं धीरे-धीरे और बिलकुल मूल से समझाते हुए दिखाता हूँ कि प्रश्नों को कैसे हल किया जाता है।

वीडियो के साथ 80 ज्ञान-परीक्षण प्रश्न और लगभग 120 चुने हुए अभ्यास प्रश्न शामिल हैं।

इस पाठ्यक्रम में मैं विभिन्न विश्वविद्यालयों के छात्रों को अनेक वर्षों तक सीमाएँ पढ़ाने से अर्जित अपना ज्ञान साझा करता हूँ। आप इससे, अन्य बातों के साथ-साथ, यह भी सीखेंगे:

  • सरल तरीक़े से यह समझना कि अनुक्रमों की सीमाएँ क्या होती हैं, और यह समझ उन्हें गणना करने में कितनी उपयोगी सिद्ध होती है।
  • वो कौन-से दो मूलभूत, सर्वप्रयुक्त सीमा (limit) के सूत्र हैं, जिनके अस्तित्व का पता भी अधिकांश नए विद्यार्थियों को पढ़ाई शुरू करते समय नहीं होता?
  • सहयुग्म (conjugate) से गुणा विधि का उपयोग करते समय सीमाओं के दो रूपों—सरल और कठिन—को बिना किसी परेशानी के कैसे अलग-अलग पहचाना जाए।
  • गणित में संख्या e कहाँ से आई?
  • माध्यमिक विद्यालय में पढ़ाए गए अनुक्रमों से जुड़ी कौन-कौन-सी जानकारियाँ आपको बिल्कुल ज़रूरत नहीं हैं — और ऐसी काफ़ी सारी हैं।
  • क्यों फ़ंक्शनों की सीमा से जुड़े सबसे सरल दिखने वाले प्रश्न भी असल में सबसे कठिन हो सकते हैं, और इससे कैसे निपटा जाए।
  • फ़ंक्शन की सीमाओं (लिमिट्स) के सही सूत्र तक पहुँचाने वाली अनेक सरल तरकीबों के बारे में।
  • कब किसी फ़ंक्शन की सीमा (लिमिट) अस्तित्व में नहीं होती और बेचारा विद्यार्थी तब क्या कर सकता है।
  • कि सततता से संबंधित प्रश्न प्रायः सीमा (लिमिट) के सबसे आसान प्रश्न होते हैं—और ऐसा क्यों है।

…और कई-कई अन्य व्यावहारिक, आज़माई हुई “ट्रिक्स” जो लगभग छह घंटे की ठोस बुनियादी जानकारी के साथ-साथ आपको लिमिट्स के कोलोक्वियम या परीक्षा में—शायद ख़ुद को भी—चकित कर सकती हैं।

Lessons

पाठ 1 – अनुक्रमों की सीमाओं का परिचय। उच्चतम घात को बाहर निकालना।

लंबाई: 75 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: आसान

यह पाठ अनुक्रमों की सीमाओं के विषय से परिचय कराता है। इसमें तुरंत ही उनकी गणना की पहली, बुनियादी विधि – “उच्चतम घात को बाहर निकालना” – दिखाई जाती है।

इसमें आप, अन्य बातों के साथ, सरल ढंग से जानेंगे कि अनुक्रम की सीमा क्या होती है और इसे निकालने में यह समझ कितनी उपयोगी होती है।

आप दो मूलभूत, प्रारंभिक सीमा-सूत्र भी सीखेंगे जिन्हें हर चरण पर उपयोग किया जाता है – ऐसे सूत्र जिनके अस्तित्व का आरम्भ में कई छात्र अनुमान तक नहीं लगाते।

विषय-सूची

  • अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सहज परिचय और उसकी औपचारिक परिभाषा [02:26]
  • अनुक्रम – 5 उदाहरण [12:22]
  • अनिश्चित रूप [22:53]
  • उच्चतम घात को बाहर निकालना – 20 उदाहरण [25:50]
  • घातांकीय फलनों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – 3 उदाहरण [01:00:51]
  • फैक्टोरियल वाले उदाहरणों में उच्चतम घात को बाहर निकालना – 2 उदाहरण [01:08:07]

पाठ 2 – कॉन्जुगेट (सापेक्षांक) से गुणन

लंबाई: 36 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: मानक

इस पाठ में मैं उन अनुक्रम सीमाओं की दूसरी, बिल्कुल बुनियादी विधि—जहाँ अभिव्यक्तियों में वर्गमूल का अंतर होता है—पर चर्चा करता/करती हूँ।

इसमें आप बिना कठिनाई के सीखेंगे कि संयुग्म से गुणा-वाली सीमाओं के दो रूप (सरल और कठिन) को कैसे आसानी से अलग पहचाना जाए।

विषय-सूची

  • इस विधि को कब लागू करें – परिचय [01:30]
  • द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 1 [02:41]
  • द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 2 [07:48]
  • द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 3 [10:31]
  • द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 4 [14:24]
  • द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 5 [20:27]
  • द्विघात मूलों के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण 6 [24:11]
  • त्रिघात मूल के साथ संयुग्म से गुणन – उदाहरण [27:56]
  • दो विधियों का एक साथ उपयोग – उदाहरण [30:45]

पाठ 3 – संख्या e के सूत्र से सीमाएँ

लंबाई: 27 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: मानक

इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि अनुक्रमों की सीमाएँ उस सूत्र से कैसे हल की जाएँ, जिसका परिणाम संख्या e देता है।

हम जानेंगे कि गणित में संख्या e कहाँ से आई 🙂

विषय-सूची

  • इस विधि को लागू करने की शर्तें [01:14]
  • संख्या e का सूत्र [02:04]
  • e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 1-4 [03:48]
  • e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 5-6 [10:11]
  • e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 7 [13:25]
  • e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 8 [17:37]
  • e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 9 [19:42]
  • e के सूत्र पर लाने योग्य सीमाएँ – उदाहरण 10 [21:28]

पाठ 4 – तीन अनुक्रम प्रमेय। अंकगणितीय और ज्यामितीय अनुक्रमों के योगफल।

लंबाई: 39 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: मानक

इस पाठ में मैं सीमाएँ निकालने के लिए बहुत उपयोगी “तीन अनुक्रम प्रमेय” प्रस्तुत करता/करती हूँ।

विषय-सूची

  • तीन अनुक्रम प्रमेय – कब उपयोग किया जाता है [01:49]
  • तीन अनुक्रम प्रमेय [02:54]
  • तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 1 [06:15]
  • तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 2 [10:45]
  • तीन अनुक्रम प्रमेय का प्रयोग – उदाहरण 3 [13:00]
  • अंकगणितीय या ज्यामितीय अनुक्रम के योग की विधि – कब उपयोग किया जाता है [15:16]
  • अंकगणितीय और ज्यामितीय अनुक्रमों के योग के सूत्र [16:30]
  • योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 1 [21:38]
  • योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 2 [23:52]
  • योग के सूत्रों का उपयोग (अंकगणितीय व ज्यामितीय) – उदाहरण 3 [26:31]
  • तीन अनुक्रम प्रमेय (कठिन) – उदाहरण 1 [29:46]
  • तीन अनुक्रम प्रमेय (कठिन) – उदाहरण 2 [33:29]

पाठ 5 – फलनों की सरल सीमाएँ। अनुक्रम सीमाओं की विधियों की पुनरावृत्ति।

लंबाई: 33 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: आसान

इस पाठ में मैं फलनों की सीमाएँ प्रस्तुत करता/करती हूँ (अब तक हमने केवल अनुक्रमों की सीमाएँ देखी थीं)। मैं बताता/बताती हूँ कि नया क्या है और पहले सीखी गई सभी विधियों की पुनरावृत्ति करता/करती हूँ – जो बिना अपवाद के फलनों पर भी लागू होती हैं।

ध्यान दें: शीर्षक में “सरल” शब्द होने के बावजूद, फलनों की सबसे सरल सीमाएँ अकसर सबसे कठिन होती हैं – और मैं दिखाऊँगा/दिखाऊँगी कि उनसे कैसे निपटना है।

विषय-सूची

  • फलन की सीमा क्या है — स्पष्टीकरण [02:08]
  • फलन की सीमाएँ – 6 सरल उदाहरण [04:03]
  • फलन सीमा में उच्चतम घात को बाहर निकालना – 3 उदाहरण [14:55]
  • फलन सीमाओं में संयुग्म से गुणन – 3 उदाहरण [20:33]
  • फलन-सीमा से संख्या e प्राप्त करना – उदाहरण [27:45]

पाठ 6 – गुणनखंडन

लंबाई: 35 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: आसान

इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि बहुपद के सर्वाधिक प्रचलित (स्कूल-स्तरीय) गुणनखंडन तकनीक से कुछ फलन सीमाएँ कैसे निकाली जाती हैं।

विषय-सूची

  • बहुपद का गुणनखंडन (माध्यमिक-स्तर की पुनरावृत्ति) [01:26]
  • गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (संक्षिप्त गुणन सूत्र) – 3 उदाहरण [05:55]
  • गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (सामान्य गुणनखंड बाहर निकालना) – 3 उदाहरण [13:16]
  • गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (डिस्क्रिमिनेंट “Δ” विधि) – 2 उदाहरण [21:06]
  • गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना – 2 उदाहरण [25:26]
  • गुणनखंडन से सीमाएँ निकालना (समूहकरण) – उदाहरण [28:53]

पाठ 7 – फलनों की सीमाओं के सूत्र

लंबाई: 47 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: मानक

इस पाठ में मैं दिखाता/दिखाती हूँ कि विभिन्न सीमाओं को किस प्रकार बदला जाए ताकि वे सर्वाधिक प्रचलित सूत्रों — जैसे sine, लॉगरिदम आदि — के अनुरूप हो जाएँ।

आप कई सरल तरकीबें सीखेंगे जिनसे किसी सीमा को उपयुक्त फलन-सीमा सूत्र तक पहुँचाया जा सकता है।

विषय-सूची

  • फलनों के लिए सीमाओं के सूत्र [01:17]
  • sin x, tan x, arcsin x, arctan x वाले सूत्रों से सीमाएँ – 6 उदाहरण [05:39]
  • घातांकीय और लघुगणकीय फलनों वाले सूत्रों से सीमाएँ – 4 उदाहरण [15:12]
  • sin x के रूपांतरणों वाली सीमाएँ – 2 उदाहरण [20:10]
  • कोसाइन अंतर वाले सूत्र से सीमा – उदाहरण [22:57]
  • कोसाइन वाली सीमा का सूत्र [26:31]
  • कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 1 [28:25]
  • कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 2 [31:25]
  • कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 3 [35:10]
  • कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 4 [38:00]
  • कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 5 [40:50]
  • कठिन रूपांतरणों वाली सीमाएँ – उदाहरण 6 [42:58]

पाठ 8 – फलनों की एकतरफ़ा सीमाएँ। फलन की सततता।

लंबाई: 63 मिनटलेखक: Krystian Karczyńskiजटिलता: मानक

इस पाठ में मैं फ़ंक्शन सीमाओं से जुड़े कुछ नए विषय प्रस्तुत करता/करती हूँ – एकतरफ़ा सीमाएँ, वे स्थितियाँ जहाँ फ़ंक्शन की सीमा बिल्कुल भी अस्तित्व में नहीं होती, और अंत में स्वयं फलन की सततता का विषय।

मैं दिखाऊँगा/दिखाऊँगी कि जब किसी फ़ंक्शन की सीमा बिल्कुल नहीं होती तो क्या करना चाहिए। आप देखेंगे कि सततता वाले प्रश्न आम तौर पर सीमा के सबसे सरल प्रश्न होते हैं – और ऐसा क्यों है।

विषय-सूची

  • फलन की एकतरफ़ा सीमाओं का परिचय – 3 उदाहरण [01:37]
  • एकतरफ़ा सीमाएँ (|x| वाला उदाहरण सहित) – 3 उदाहरण [12:47]
  • एकतरफ़ा सीमाएँ (घातांकीय फलनों के साथ) – 3 उदाहरण [19:47]
  • x → −∞ सीमा – उदाहरण [25:04]
  • कठिन एकतरफ़ा सीमाएँ – 2 उदाहरण [30:04]
  • फलन की सततता का परिचय – 2 एकतरफ़ा सीमाएँ [36:37]
  • किसी बिंदु पर फलन की सततता की शर्त [39:39]
  • बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 1 [43:14]
  • बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 2 [46:14]
  • बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 3 [48:22]
  • बिंदु पर फलन की सततता – उदाहरण 4 [53:11]
  • पैरामीटर-युक्त सततता – प्रश्न 1 [56:00]
  • पैरामीटर-युक्त सततता – प्रश्न 2 [58:38]