fbpx

Kalkulator do całek potrójnych

Przedstawiam kalkulator do całek potrójnych:

W pierwszym polu wpisujemy funkcję, z której liczymy całkę (funkcję podcałkową). Należy wpisać ją zgodnie z ogólnymi zasadami wpisywania formuł matematycznych.

Uwaga

Kolejność całkowania kalkulatora jest następująca: najpierw całkuje po ‘z’, potem po ‘y’, potem po ‘x’.

Zatem:

  • zmienna ‘z’ może być ograniczona zmiennymi ‘x’ i ‘y’
  • zmienna ‘y’ może być ograniczona zmienną ‘x’
  • zmienna ‘x’ powinna być w stałych granicach (ograniczona liczbami)

Oznaczenia funkcji w Wolframie

Trochę problemów mogą sprawić oznaczenia, np. square root of 4 minus x squared end root w granicach całkowania Wolframa trzeba by wpisać jako ‘sqrt(4-x^2)’ – jak w przykładzie powyżej.

Zajrzyjcie do Ogólnej Instrukcji Wpisywania Formuł Matematycznych i w razie problemów pytajcie śmiało w komentarzach.

Kalkulator doskonale radzi sobie z obliczeniami bez współrzędnych walcowych, sferycznych, liczbami pi, e – no jednym słowem MIODZIO.

Przykład 1

Używając kalkulatorka obliczymy sobie całkę potrójną z funkcji f open parentheses x comma y comma z close parentheses equals x y squared z minus 1 w kuli o równaniu x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus z squared equals 1.

Po narysowaniu obszar całkowania wyglądał by tak (nie pomoże nam w tym na razie kalkulator niestety):

Kula o środku w punkcie (0,1,0)

Mając pod ręką kalkulator nie wchodzimy nawet we współrzędne sferyczne, takie z nas leniuchy. Opisujemy obszar całkowania normalnie współrzędnymi x,y,z.

Rzutem kuli na płaszczyznę (powiedzmy) xOy będzie koło:

Rzut kuli na płaszczyznę xOy (koło)

W tym kółku ‘x’-sy – powiedzmy znowu – niech zmieniają się w stałych granicach od -1 do 1.

‘y’-ki niech zmieniają się w granicach zmiennych, wyliczamy je z równania kuli biorąc za z equals 0:

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus z squared equals 1

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus 0 squared equals 1

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared equals 1

open parentheses y minus 1 close parentheses squared equals 1 minus x squared

y minus 1 equals square root of 1 minus x squared end root lub y minus 1 equals negative square root of 1 minus x squared end root

y equals square root of 1 minus x squared end root plus 1 lub y equals negative square root of 1 minus x squared end root plus 1

No i mamy dokładnie granice całkowania dla ‘y’. Granice całkowania dla z wyliczamy (będą to powierzchnie) podobnie z równania:

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus z squared equals 1

z squared equals 1 minus x squared minus open parentheses y minus 1 close parentheses squared

z equals square root of 1 minus x squared minus open parentheses y minus 1 close parentheses squared end root lub z equals negative square root of 1 minus x squared minus open parentheses y minus 1 close parentheses squared end root

Sprzątaniem zupełnie się nie przejmujemy, bo mamy kalkulator.

Podsumowując:

Mamy funkcję podcałkową: f open parentheses x comma y comma z close parentheses equals x y squared z minus 1

Mamy obszar całkowania:

Granice całkowania

Wpisanie danych do kalkulatora

Funkcję podcałkową i granice całkowania wpisujemy w kalkulator

Kolejność całkowania nam się zgadza (najpierw po ‘z’, potem po ‘y’, na końcu w stałych po ‘x’) czyli już tylko klikamy na ‘Policz’  i mamy wynik:

negative fraction numerator 4 straight pi over denominator 3 end fraction

Wynik jest policzony zgrabnie i bez współrzędnych sferycznych.