Kalkulator do pól obszarów

Uwagi

  • Równania wpisujemy korzystając Ogólnej instrukcji wpisywania formuł matematycznych
  • Równania krzywych oddzielamy przecinkiem
  • Liczby dziesiętne wpisujemy z kropką, a nie przecinkiem. Czyli np: 0.1, a nie: 0,1.
  • Kalkulator nie jest doskonały. Czasami gubi się przy większej ilości krzywych. Należy zawsze sprawdzić, czy pokazane przez niego pole i całka do policzenia mają sens (patrz Przykład 4).

Przykład 1

Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolami y equals 2 x cubed i  y squared equals 4 x.

Wprowadzam do kalkulatora ‘y=2x^3,y^2=4x’:

Odp. P equals 5 over 6.

Przykład 2

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y equals x cubed plus x squared minus 2 x, osią OX i prostymi x equals negative 2 comma space x equals 2.

Równanie osi OX to y equals 0. Wpisuję do kalkulatora: ‘y=x^3+x^2-2x, y=0, x=-2, x=2’:

Odp. P equals 37 over 6 equals 6 1 over 6.

Przykład 3

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą 9 y squared equals x cubed open parentheses 6 minus x close parentheses.

Wpisuję w kalkulator: ‘9y^2=x^3(6-x)’:

Dostaję komunikat o błędzie:

Przekształcam równanie krzywej:

open parentheses 3 y close parentheses squared equals x cubed open parentheses 6 minus x close parentheses 3 y equals square root of x cubed open parentheses 6 minus x close parentheses end root space logical or space 3 y equals negative square root of x cubed open parentheses 6 minus x close parentheses end root

Wpisuję w kalkulator: ‘3y=sqrt(x^3(6-x)), 3y=-sqrt(x^3(6-x))’.

Odp. Pole to wynosi 28,2743 (w przybliżeniu, zapewne).

Przykład 4 (na błędne działanie)

Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolami y equals x squared, y equals x squared over 2 i prostą y equals 4 x .

Wpisuję w kalkulator ‘y=x^2,y=x^2/2,y=4x’:

Pozornie wszystko się zgadza, ale widać, że kalkulator źle zaznaczył pole pomiędzy tymi kilkoma krzywymi. Parabola y equals x squared w żaden sposób nie bierze udziału w ograniczaniu pola, wręcz mogło by jej nie być. Widać to także w stworzonej przez kalkulator całce oznaczonej.

Wynik nie jest więc prawidłowy.

Możemy podzielić pole na dwa i policzyć osobno.

Pole 1 (pomiędzy parabolą y equals x squared, a parabolą y equals x squared over 2, dla 0 less or equal than x less or equal than 4)

Wpisuję w kalkulator ‘y=x^2,y=x^2/2,x=4,x=0’:

Czyli P subscript 1 equals 32 over 3.

Pole 2 (pomiędzy prostą y equals 4 x, a parabolą y equals x squared over 2, dla 4 less or equal than x less or equal than 8)

Wpisuję w kalkulator ‘y=4x,y=x^2/2,x=4,x=8’:

Jak widać, rysunek znowu niezbyt się udał, natomiast sama całka oznaczona (a więc także i wynik) jest prawidłowa.

P subscript 2 equals 64 over 3.

Mamy więc wynik.

Odp. P equals P subscript 1 plus P subscript 2 equals 32 over 3 plus 64 over 3 equals 96 over 3 equals 32.