Kurs Trygonometria

Zobacz wszystkie Kursy

Lekcja druga dotyczy wartości trzech podstawowych kątów ostrych trójkąta prostokątnego: 30, 45 i 60 stopni.

Lekcja ta ma ponad 1,5 godziny. Pokazuję wszystkie potrzebne wzory, wartości „tabelki” oraz sposób jej zapamiętania. Na 31 przykładach przedstawiam jak te wartości wykorzystać w zadaniach.

Spis treści:

• Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 i 60 stopni na podstawie trójkąta równobocznego [04:04]
• Trójkąt ekierkowy 30,60,90 – zależności boków [14:24]
• Wartości funkcji trygonometrycznych kąta na podstawie kwadratu [17:11]
• Trójkąt ekierkowy 45,45,90 – zależności boków [19:57]
• Tabela wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30,45,60 [21:33]
• Tabela wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30,45,60 – sposób zapamiętania [24:45]
• Zadanie 1: wartość podanego wyrażenia – 4 przykłady [29:41]
• Zadanie 2: zastosowanie trygonometrii w planimetrii, długość wysokości trójkąta [34:38]
• Zadanie 3: obwód trójkąta na podstawie danych – 3 przykłady [38:32]
• Zadanie 4: miara kąta ostrego dla podanej wartości funkcji trygonometrycznej – 6 przykładów [59:57]
• Zadanie 5: miary kątów w trójkącie dla podanych dwóch wartości funkcji – 3 przykłady [1:03:08]
• Zadanie 6: miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego dla podanych wartości dwóch boków – 3 przykłady [1:07:10]
• Zadanie 7: obwód trójkąta, podane dwa boki i kąt między nimi [1:15:33]
• Wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego – porównanie na wykresie [1:22:24]
• Zadanie 8: zakres wartości funkcji trygonometrycznych dla podanego zakresu wartości kąta ostrego – 5 przykładów [1:28:29]
• Zadanie 9: zakres kąta ostrego dla podanej wartości lub zakresu wartości funkcji trygonometrycznej – 5 przykładów [1:35:29]

Lekcja trzecia dotyczy podstawowych tożsamości trygonometrycznych, mianowicie jedynki trygonometrycznej i rozwinięcia tangensa. Ponadto omawiam w niej wzory redukcyjne, ale na razie tylko dla kąta ostrego. 

Lekcja ta ma ponad 2 godziny. Pokazuję wszystkie potrzebne wzory, własności, sprawdzanie tożsamości trygonometrycznych, sposób wyprowadzenia wzorów redukcyjnych. Na 45 przykładach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach.

Spis treści:

• Podstawowe tożsamości trygonometryczne (jedynka trygonometryczna, tangens) [02:26]
• Zadanie 1: wyznaczenie pozostałych wartości funkcji trygonometrycznych, gdy podana jest tylko jedna (2 sposoby) – 3 przykłady [08:02]
• Zadanie 2: przekształcenia z tożsamościami trygonometrycznymi z sinusem – 3 przykłady [28:37]
• Zadanie 3: przekształcenia z tożsamościami trygonometrycznymi z tangensem – 3 przykłady [34:45]
• Zadanie 4: wartości wyrażeń z podaną jedną funkcją, przekształcenia z tożsamościami trygonometrycznymi – 2 przykłady [40:09]
• Zadanie 5: czy istnieje taki kąt, dla którego zachodzą warunki – 4 przykłady [45:21]
• Zadanie 6: zapisanie wyrażeń w prostszej postaci – 4 przykłady [50:23]
• Zadanie 7: wartość wyrażenia mając podany iloczyn sin(a) * cos(a) – 3 przykłady [54:48]
• Zadanie 8:  wartość wyrażenia mając podaną sumę sin(a) + cos(a) – 3 przykłady [1:01:05]
• Zadanie 9: sprawdzenie tożsamości trygonometrycznej – 4 przykłady [1:10:43]
• Zadanie 10: wykazywanie tożsamości trygonometrycznej – 4 przykłady [1:19:14]
• Wzory redukcyjne (dla kąta ostrego) [1:28:39]
• Zadanie 11: wartość wyrażenia stosując wzory redukcyjne – 8 przykładów [1:34:01]
• Zadanie 12: porządkowanie rosnąco wyrażeń – 2 przykłady [1:51:29]
• Zadanie 13: uporządkowanie boków trójkąta wg podanych wartości kątów – 2 przykłady [1:57:22]
• Wartość wyrażenia sin(a) + cos(a) dla kąta ostrego (dowód) [2:05:04]

Lekcja czwarta podstawowa (oczywiście także dla osób z rozszerzenia) dotyczy definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Pokazuję w niej skąd biorą się znaki funkcji w danej ćwiartce układu współrzędnych, czyli inaczej lubiany przez wszystkich „wierszyk”. 

Lekcja ta ma prawie 2 godziny. Pokazuję tu także wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych dużych kątów. Na 19 przykładach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach.

Spis treści:

• Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta płaskiego [01:41]
• Ramię kąta w układzie współrzędnych [14:38]
• Znaki funkcji trygonometrycznych (wierszyk) [23:47]
• Wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów wraz z wykresem [28:57]
• Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta [45:29]
• Zadanie 1: wartości funkcji trygonometrycznych dla punktu  – 5 przykładów [54:37]
• Zadanie 2: współrzędna punktu  w zależności od położenia kąta – 4 przykłady [1:04:30]
• Zadanie 3: współrzędne punktu  w zależności od podanych danych – 3 przykłady [1:12:52]
• Zadanie 4: wartości funkcji trygonometrycznych dużych kątów z zastosowaniem definicji funkcji trygonometrycznych kąta płaskiego – 3 przykłady [1:22:31]
• Zadanie 5: konstrukcja kąta w układzie współrzędnych mając podaną wartość funkcji trygonometrycznej – 4 przykłady [1:37:14]

Lekcja piąta dotyczy tożsamości trygonometrycznych. Ważny temat, zarówno do matury, jak i w trakcie nauki szkolnej. Często pojawia się na sprawdzianach. 🙂

Lekcja ta ma ponad 1 godzinę. Pokazuję na 21 przykładach jak wyznaczać pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, mając jedną z nich, jak sprawdzać i przekształcać tożsamości trygonometryczne wykorzystując do tego np. wzory skróconego mnożenia.

Spis treści:

• Tożsamości trygonometryczne [03:59]
• Zadanie 1: podana wartość jednej funkcji i ćwiartka, pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych – 4 przykłady [13:31]
• Zadanie 2: podana wartość jednej funkcji, pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych – 3 przykłady [25:28]
• Zadanie 3: wartość wyrażenia dla podanej wartości jednej funkcji – 2 przykłady [33:33]
• Zadanie 4: sprawdzenie, czy istnieje kąt dla którego zachodzą warunki – 3 przykłady [38:21]
• Zadanie 5: wartość tangensa dla podanego równania – 2 przykłady [43:33]
• Zadanie 6: wartość wyrażenia mając podaną sumę , wzory skróconego mnożenia – 3 przykłady [52:42]
• Zadanie 7: wartość wyrażenia mając podaną sumę , wzory skróconego mnożenia – 2 przykłady [1:01:37]
• Zadanie 8: sprawdzenie tożsamości trygonometrycznej – 2 przykłady [1:07:15]

Lekcja szósta, ostatnia z lekcji podstawowych, dotyczy wzorów redukcyjnych. Tłumaczę skąd się wzięły i jak łatwo zapamiętać zastosowanie tych wzorów.

Lekcja ta ma prawie 1,5 godzinę. Na 15 przykładach obliczam wartości wyrażeń i dużych kątów.

Spis treści:

• Wzory redukcyjne – wyprowadzenie z kątami 180 i 360 stopni [02:34]
• Wzory redukcyjne – wyprowadzenie z kątami 90 i 270 stopni [19:31]
• Wzory redukcyjne – podsumowanie [33:13]
• Zadanie 1: wartości dużych kątów za pomocą wzorów redukcyjnych (2 sposoby) – 7 przykładów [40:24]
• Zadanie 2: wartość wyrażenia z zastosowaniem wzorów redukcyjnych – 5 przykładów [58:12]
• Zadanie 3: wyznaczenie miary kąta, podane wartości funkcji i ich znaki – 3 przykłady [1:11:34]

Lekcja siódma, pierwsza typowo dla poziomu rozszerzonego, dotyczy miary łukowej kąta oraz kąta skierowanego.

Lekcja ta ma równiutko 1,5 godziny. Stanowi wstęp do wszystkich następnych lekcji, gdzie z reguły zamiast miary kątowej (30, 45, 60 stopni) stosowane są częściej kąty w mierze łukowej, np. pi/6 , pi/4 czy też pi/3. Na 36 przykładach przedstawiam jak konstruować kąty skierowane i przeliczać miary kątów, a także pokazuje wzory redukcyjne w mierze łukowej.

Spis treści:

• Kąt skierowany [03:40]
• Kąty skierowane zgodnie i kąty skierowane przeciwnie [08:28]
• Przykłady kątów skierowanych [09:57]
• Zadanie 1: konstrukcja kątów skierowanych w układzie współrzędnych – 6 przykładów [11:51]
• Uogólniony kąt skierowany [24:21]
• Zadanie 2: miara główna kąta skierowanego (powyżej ) – 6 przykładów [29:43]
• Zadanie 3: konstrukcja dużych kątów skierowanych w układzie współrzędnych, wyznaczenie miary głównej – 2 przykłady [34:35]
• Miara łukowa kąta [38:22]
• Zależność między miarą łukową a miarą stopniową [45:17]
• Zadanie 4: zamiana stopni na miarę łukową – 4 przykłady [48:57]
• Zadanie 5: zamiana radianów na miarę kątową – 4 przykłady [51:37]
• Zadanie 6: wartość wyrażenia wskazanych kątów łukowo – 3 przykłady [53:14]
• Wzory redukcyjne w miarach łukowych [59:15]
• Zadanie 7: obliczenia z wzorów redukcyjnych podanych wprost z wykorzystaniem miary łukowej – 4 przykłady [1:03:28]
• Zadanie 8: obliczenia z wzorów redukcyjnych dobranych samodzielnie z wykorzystaniem miary łukowej – 3 przykłady [1:10:33]
• Zadanie 9: wyznaczenie miary kąta, podane wartości funkcji i ich znaki – 4 przykłady [1:20:25]

Lekcja ósma dotyczy kilku ważnych tematów dla ogólnej wartości kąta. Przypominam tu i pokazuję w sposób już najbardziej ogólny tożsamości trygonometryczne i wzory redukcyjne. Omawiam wykresy funkcji trygonometrycznych oraz podstawowe własności: dziedzina, zbiór wartości, okresowość i parzystość funkcji.

Lekcja ta ma prawie 2 godziny. Pokazuję wszystkie potrzebne wzory i wykresy. Na 41 przykładach wyznaczam okres podstawowy funkcji trygonometrycznej (przydatny w dalszych tematach), parzystość funkcji czy też zbiór wartości danego wyrażenia, .

Spis treści:

• Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej (okresowość – pełny obrót ramienia kąta) [02:42]
• Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej (okresowość – pół obrotu ramienia kąta) [08:00]
• Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej (kąt ujemnie skierowany) [11:41]
• Tożsamości trygonometryczne i wzory redukcyjne dla zmiennej rzeczywistej [14:58]
• Zadanie 1: wartość funkcji trygonometrycznej kąta z wykorzystaniem okresowości i wzorów redukcyjnych – 10 przykładów [16:40]
• Zadanie 2: wartość wyrażenia z wykorzystaniem okresowości i wzorów redukcyjnych – 4 przykłady [26:59]
• Dziedzina i zbiór wartości funkcji trygonometrycznej, wykresy funkcji trygonometrycznych [31:55]
• Okresowość funkcji [39:50]
• Zadanie 3: wyznaczenie podstawowych własności funkcji okresowych (okres podstawowy, miejsce zerowe, zbiór wartości, wartości największe i najmniejsze) – 2 przykłady [48:15]
• Zadanie 4: wyznaczenie podstawowych własności funkcji okresowej opisanej słownie [59:38]
• Okresowość funkcji sinus i funkcji cosinus [1:06:19]
• Okresowość funkcji tangens i funkcji cotangens [1:09:15]
• Zadanie 5: wyznaczenie okresu podstawowego funkcji trygonometrycznych – 8 przykładów [1:11:57]
• Parzystość i nieparzystość funkcji [1:26:28]
• Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych [1:29:50]
• Zadanie 6: badanie parzystości funkcji – 4 przykłady [1:32:15]
• Zadanie 7: wyznaczanie zbioru wartości funkcji trygonometrycznych – 8 przykładów [1:37:05]
• Zadanie 8: wyznaczanie zbioru wartości funkcji trygonometrycznych – 4 przykłady [1:47:04]

Lekcja dziewiąta dotyczy wykresów funkcji trygonometrycznych. Przede wszystkich wszystkich znanych przekształceń. 

Lekcja ta ma lekko ponad 2,5 godziny. Omawiam tu dokładniej każdy z podstawowych wykresów. Pokazuję na 28 przykładach wszystkie potrzebne przekształcenia: przesunięcie w osi OX i OY, symetria osiowa, moduł na wartościach lub też na argumentach oraz skalowanie (mnożenie przez stałą) po wartościach lub też na argumentach.

Spis treści:

• Wykres funkcji sinus (jak powstał, porównanie z okręgiem) [05:07]
• Własności funkcji sinus (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, okres podstawowy, wartości max i min, monotoniczność, parzystość) [13:14]
• Wykres funkcji cosinus (z przesunięcia) [19:53]
• Własności funkcji cosinus [21:50]
• Wykres funkcji tangens (jak powstał, porównanie z okręgiem) [24:54]
• Własności funkcji tangens [32:24]
• Wykres funkcji cotangens (z przesunięcia i odbicia) [35:53]
• Własności funkcji cotangens [37:39]
• Zadanie 1: wykres funkcji sinus, odczytanie argumentów, dla których funkcja przyjmuje podane wartości – 3 przykłady [39:37]
• Zadanie 2: wykres funkcji cosinus, odczytanie argumentów, dla których funkcja przyjmuje podane wartości – 3 przykłady [45:45]
• Zadanie 3: wykres funkcji tangens, odczytanie argumentów, dla których funkcja przyjmuje podane wartości – 2 przykłady [51:32]
• Zadanie 4: wykres funkcji cotangens, odczytanie argumentów, dla których funkcja przyjmuje podane wartości – 2 przykłady [54:04]
• Wykresy funkcji sinus i cosinus – punkty wspólne [58:32]
• Wykresy funkcji tangens i cotangens – punkty wspólne [1:01:05]
• Zadanie 5: znaki podanego wyrażenia – 4 przykłady [1:02:41]
• Wzory redukcyjne a wykresy funkcji sinus i cosinus [1:07:58]
• Wzory redukcyjne a wykresy funkcji tangens i cotangens [1:17:18]
• Przesunięcie wzdłuż osi OX: f(x-p) , f(x+p) [1:21:28]
• Przesunięcie wzdłuż osi OY: f(x)-p , f(x)+p [1:27:25]
• Symetria osiowa względem osi OX: -f(x) [1:31:29]
• Symetria osiowa względem osi OY: f(-x) [1:36:09]
• Wartość bezwzględna na wartościach, wykres funkcji: |f(x)| [1:41:46]
• Wartość bezwzględna na argumentach, wykres funkcji: f(|x|) [1:46:24]
• Rozciąganie wartości, wykres funkcji: c*f(x) [1:51:26]
• Rozciąganie argumentów, wykres funkcji: f(c*x) [1:54:00]
• Zadanie 6: rysowanie wykresów funkcji z przekształceniami – 14 przykładów [1:59:31]

Lekcja dziesiąta jest lekcją z mnóstwem nowych wzorów: funkcje trygonometryczne sumy, różnicy czy też wielokrotności kąta oraz sumy i różnice funkcji trygonometrycznych.

Lekcja ta ma ponad 2 godziny. Pokazuję i wyprowadzam wszystkie potrzebne wzory i na 38 przykładach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach.

Spis treści:

• Cosinus różnicy kątów: cos(a-b) – wyprowadzenie wzoru [04:40]
• Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów: sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b) [13:30]
• Zadanie 1: wartość wyrażenia (podane rozpisane wyrażenia na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów) – 4 przykłady [16:42]
• Zadanie 2: wartość wyrażenia (podany kąt) – 4 przykłady [23:18]
• Zadanie 3: trójkąt o podanych kątach i bokach, rozwiązanie trójkąta (twierdzenie sinusów) – 2 przykłady [31:08]
• Zadanie 4: zbiór wartości funkcji (wyrażenia z przekształceniami) – 2 przykłady [42:03]
• Tangens sumy i różnicy kątów: tg(a+b), tg(a-b) [51:09]
• Zadanie 5: wartość wyrażenia (podany kąt) – 2 przykłady [55:06]
• Zadanie 6: trójkąt o podanych wartościach tangensów dwóch kątów, miara trzeciego kąta [58:30]
• Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta: sin (2a), cos(2a), tg(2a) [1:01:15]
• Zadanie 7: wartość podwojonego kąta, podana jedna funkcja trygonometryczna – 3 przykłady [1:05:07]
• Zadanie 8: wartość wyrażenia, zastosowanie wzorów na podwojone kąty – 6 przykładów [1:09:57]
• Zadanie 9: wartość podwojonego kąta, podana suma lub różnica dwóch funkcji – 3 przykłady [1:26:57]
• Zadanie 10: podany sinus, wartość potrojonego kąta sin(3a), cos(3a) – 2 przykłady [1:35:23]
• Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych [1:41:04]
• Zadanie 11: wartość wyrażenia, zastosowanie wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych – 3 przykłady [1:45:45]
• Zadanie 12: zapisanie wyrażeń w postaci iloczynu – 3 przykłady [1:55:03]
• Zadanie 13: zbiór wartości funkcji – 3 przykłady [2:02:03]

Lekcja jedenasta jest chyba najważniejszą lekcją całego Kursu. Omawiam w niej równania i nierówności trygonometryczne – temat pewniak na egzaminie maturalnym.

Lekcja ta ma ponad 4 godziny. Na 68 przykładach przedstawiam jak wykorzystać wszystkie dotychczas poznane narzędzia, przekształcenia wykresów i wzory trygonometryczne w zadaniach do rozwiązywania równań.

Spis treści:

• Podstawowe równania trygonometryczne dla funkcji sinus – 2 przykłady [04:52]
• Podstawowe równania trygonometryczne dla funkcji cosinus – 2 przykłady [15:54]
• Szczególne przypadki dla funkcji sinus i cosinus [22:12]
• Podstawowe równania trygonometryczne dla funkcji tangens i cotangens – 2 przykłady [25:02]
• Zadanie 1: równania trygonometryczne, proste przekształcenia – 8 przykładów [31:49]
• Zadanie 2: równania trygonometryczne, wzory redukcyjne – 4 przykłady [46:44]
• Zadanie 3: graficzne rozwiązywanie równań trygonometrycznych – 2 przykłady [52:16]
• Zadanie 4: równania trygonometryczne, wartość bezwzględna, przypadki – 4 przykłady [1:02:34]
• Zadanie 5: równania trygonometryczne, zmieniony argument – 4 przykłady [1:11:00]
• Zadanie 6: równania trygonometryczne w określonym przedziale – 4 przykłady [1:32:29]
• Zadanie 7: równania trygonometryczne kwadratowe (z podstawieniem) – 4 przykłady [1:50:18]
• Zadanie 8: równania trygonometryczne, różne funkcje (wzory redukcyjne, grupowanie w postać iloczynową, przekształcenia) – 4 przykłady [2:02:00]
• Zadanie 9 a,b: równania trygonometryczne, wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów – 2 przykłady [2:10:53]
• Zadanie 9 c,d: równania trygonometryczne, suma i iloczyn sinusa i cosinusa – 2 przykłady [2:18:56]
• Zadanie 9 e,f: równania trygonometryczne, suma sinusów, sinus i cosinus podwojonego kąta – 2 przykłady [2:29:03]
• Zadanie 9 g: równanie trygonometryczne, sinus podwojonego kąta, kwadraty [2:37:34]
• Zadanie 9 h: równanie trygonometryczne, iloczyn różnych funkcji z różnymi kątami [2:42:36]
• Zadanie 9 i: równanie trygonometryczne, sinus sumy, suma sinusów (2 sposoby) [2:46:58]
• Zadanie 9 j: równanie trygonometryczne, suma sinusów, przekształcenie wzoru [2:55:03]
• Zadanie 10 a,b: równania trygonometryczne w określonym przedziale – 2 przykłady [3:03:28]
• Zadanie 10 c,d: równania trygonometryczne w określonym przedziale, moduły – 2 przykłady [3:14:38]
• Nierówności trygonometryczne – 4 przykłady [3:20:51]
• Zadanie 11: nierówności trygonometryczne, proste przekształcenia – 2 przykłady [3:31:13]
• Zadanie 12 a,b: nierówności trygonometryczne, zmieniony argument – 2 przykłady [3:35:46]
• Zadanie 12 c,d: nierówności trygonometryczne w określonym przedziale – 2 przykłady [3:43:19]
• Zadanie 13: nierówności trygonometryczne kwadratowe (z podstawieniem) – 4 przykłady [3:53:01]

Lekcja dwunasta, ostatnia tematyczna, dotyczy obliczania i wyznaczania pochodnych funkcji trygonometrycznych. Przyda się zwłaszcza przyszłym studentom, którzy będą mieli matematyczne przedmioty. 

Lekcja ta jest najkrótsza, ma około 1 godzinę. Na 15 przykładach pokazuję obliczanie pochodnych funkcji, równanie stycznej, przedziały monotoniczności funkcji czy też wyznaczanie zbioru wartości na podstawie ekstremów funkcji. 

Spis treści:

• Pochodne funkcji sinus i cosinus – wyprowadzenie wzoru z definicji [02:24]
• Pochodne funkcji tangens i cotangens – wyprowadzenie wzoru [11:40]
• Zadanie 1: obliczanie pochodnych wyrażeń, zastosowanie wzorów – 10 przykładów [14:47]
• Zadanie 2: równanie stycznej do wykresu funkcji – 2 przykłady [34:14]
• Zadanie 3: przedziały monotoniczności funkcji określonej w przedziale – 2 przykłady [38:37]
• Zadanie 4: zbiór wartości funkcji w przedziale, badanie przebiegu zmienności funkcji [50:26]

Lekcja trzynasta, ostatnia, podzielona jest na dwie wersje – podstawową oraz rozszerzoną. Stanowi zebranie całej wiedzy z trygonometrii i wykorzystanie jej w typowych zadaniach maturalnych. Lekcja ta ma 3,5 godziny. Przypominam wszystkie potrzebne wzory, w tym przede wszystkim sposób odczytywania funkcji trygonometrycznych. Na 40 zadaniach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach maturalnych zamkniętych oraz otwartych.…

Lekcja zawiera 3,5-godzinne video, a w nim 30 rozwiązanych zadań otwartych dotyczących funkcji trygonometrycznych na poziomie rozszerzonym szkoły średniej. Trygonometria na poziomie rozszerzonym różni się znacznie od tej na poziomie podstawowym. Jest tu więcej wzorków do wykorzystania, pojawiają się różne przekształcenia oraz równania i nierówności. W tej lekcji skupiam się przede wszystkim na przekształceniach wykresów…