<p>Przed Tobą ostatnia lekcja tematyczna. Omawiam w niej okręgi i koła.</p> <p>Lekcja piąta podstawowa podzielona jest na dwie części. Pierwsza, zawierająca ponad 3,5 godzinne video, przedstawia podstawowe definicje związane z kołem i okręgiem, twierdzenie o stycznej, wzajemne położenie dwóch okręgów, a także kąt wpisany i środkowy. W części drugiej video, ponad 2-godzinnej, omówione zostały twierdzenia o stycznej, siecznej i cięciwach oraz ważny temat okręgów wpisanych w trójkąt i opisanych na trójkącie.</p> <p>Na ponad 100 przykładach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach.</p> <h3>Spis treści cz. 1:</h3> <ul> <li>Podstawowe pojęcia: okrąg, promień okręgu, cięciwa, średnica, łuk okręgu, długość okręgu [02:30]</li> <li>Zadanie 1: Długość okręgu, długość łuku, promienie – 5 przykładów [06:07]</li> <li>Cięciwa i promień: promień przechodzący przez środek cięciwy prostopadły do niej – dowód [09:08]</li> <li>Zadanie 2: odległość środka okręgu od cięciwy, promień okręgu, długość okręgu – 4 przykłady [14:00]</li> <li>Wzajemne położenie jednej prostej i okręgu [23:56]</li> <li>Zadanie 3: ustalenie wzajemnego położenia prostej k i okręgu – 3 przykłady [27:24]</li> <li>Zadanie 4: ustalenie wzajemnego położenia prostej k i okręgu o z parametrem a – 3 przykłady [32:34]</li> <li>Proste styczne do okręgu [45:34]</li> <li>Zadanie 5: styczna do okręgu, podany promień i odległość końca A średnicy od prostej, wyznaczenie odległości końca B od prostej [47:23]</li> <li>Twierdzenie o odcinkach stycznych wraz z dowodem [51:49]</li> <li>Zadanie 6: okrąg o podanym promieniu, poprowadzone dwie styczne z punktu poza okręgiem; pole czworokąta, kąt między stycznymi – 2 przykłady [55:13]</li> <li>Zadanie 7: styczne do okręgu poprowadzone z jednego punktu, dodatkowo trzecia styczna; obwód powstałego trójkąta [1:00:54]</li> <li>Zadanie 8: trójkąt opisany na okręgu, podane odcinki od wierzchołka do punktu styczności; obwód trójkąta [1:05:22]</li> <li>Zadanie 9: półokrąg wpisany w trójkąt prostokątny [1:08:10]</li> <li>Wzajemne położenie dwóch okręgów [1:12:16]</li> <li>Zadanie 10: ustalenie wzajemnego położenia okręgów – 5 przykładów [1:21:00]</li> <li>Zadanie 11: ustalenie wzajemnego położenia okręgów w zależności od parametru a – 2 przykłady [1:28:17]</li> <li>Zadanie 12: okręgi styczne zewnętrznie lub wewnętrznie – 3 przykłady [1:38:36]</li> <li>Zadanie 13: dwa okręgi współśrodkowe, cięciwa styczna do mniejszego okręgu [1:41:54]</li> <li>Zadanie 14: trzy okręgi, dwa styczne zewnętrznie, jednocześnie styczne [1:43:54]<br />wewnętrznie do trzeciego, promień największego okręgu</li> <li>Zadanie 15: trzy okręgi styczne zewnętrznie do siebie, pole i obwód trójkąta utworzonego przez środki okręgów [1:47:17]</li> <li>Zadanie 16: dwa okręgi styczne zewnętrznie, prosta styczna do ich, pole utworzonego czworokąta (pole trapezu) [1:50:46]</li> <li>Wspólne styczne dwóch okręgów [1:55:53]</li> <li>Zadanie 17: dwa okręgi rozłączne, narysowana styczna wewnętrznie, odległość między punktami styczności [2:00:10]</li> <li>Koło [2:05:28]</li> <li>Zadanie 18: pole pierścienia kołowego – 2 przykłady [2:08:11]</li> <li>Kąt środkowy [2:12:44]</li> <li>Zadanie 19: kąt środkowy, długość łuku – 3 przykłady [2:15:39]</li> <li>Wycinek koła [2:19:23]</li> <li>Zadanie 20: wycinek koła, pole wycinka – 2 przykłady [2:22:25]</li> <li>Zadanie 21: okrąg wpisany w wycinek koła – 2 przykłady [2:25:42]</li> <li>Odcinek koła [2:32:36]</li> <li>Zadanie 22: pola odcinków koła o podanym kącie środkowym i promieniu [2:38:20]</li> <li>Kąt wpisany [2:42:26]</li> <li>Kąt wpisany i kąt środkowy oparte na tym samym łuku – własność z dowodem [2:43:20]</li> <li>Kąty wpisane oparte na tym samym łuku – własność z dowodem [2:52:24]</li> <li>Kąt wpisany oparty na półokręgu [2:53:55]</li> <li>Zadanie 23: kąty w okręgu – 9 przykładów [2:55:49]</li> <li>Zadanie 24: wyznaczenie miar kątów trójkąta – 2 przykłady [3:08:00]</li> <li>Zadanie 25: zaznaczone kąty w okręgu – 3 przykłady [3:11:27]</li> <li>Zadanie 26: podział okręgu na równych 12 łuków, miary kątów – 4 przykłady [3:15:24]</li> <li>Zadanie 27: trójkąt wpisany w okrąg, kąty, długości łuków – 2 przykłady [3:21:12]</li> <li>Zadanie 28: dwie cięciwy przecinające się w jednym punkcie, trójkąty podobne [3:27:46]</li> <li>Kąt dopisany do okręgu – własność z dowodem [3:34:14]</li> <li>Zadanie 29: kąty w okręgu ze styczną – 3 przykłady [3:40:31]</li> </ul> <p> </p> <h3>Spis treści cz. 2:</h3> <ul> <li>Twierdzenie o stycznej i siecznej – własność z dowodem [01:32]</li> <li>Zadanie 30: zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej – 3 przykłady [10:41]</li> <li>Twierdzenie o siecznych – własność z dowodem [15:28]</li> <li>Zadanie 31: zastosowanie twierdzenia o siecznych – 3 przykłady [17:38]</li> <li>Twierdzenie o cięciwach – własność z dowodem [21:15]</li> <li>Zadanie 32: zastosowanie twierdzenia o cięciwach – 3 przykłady [25:26]</li> <li>Zadanie 33: zastosowanie twierdzenia o siecznych, obliczenie promienia [30:45]</li> <li>Zadanie 34: zastosowanie twierdzenia o cięciwach [34:45]</li> <li>Zadanie 35: zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej [38:10]</li> <li>Okrąg opisany na trójkącie [43:11]</li> <li>Okręgi opisane na różnych trójkątach – długość promienia R [47:50]</li> <li>Zadanie 36: długość promienia okręgu opisanego na trójkącie – 5 przykładów [52:21]</li> <li>Zadanie 37: długość boku trójkąta równobocznego, okrąg opisany – 2 przykłady [1:04:42]</li> <li>Zadanie 38: promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, odległość środka okręgu od jego boków [1:08:19]</li> <li>Zadanie 39: okrąg opisany na trójkącie prostokątnym – 4 przykłady [1:13:23]</li> <li>Twierdzenie sinusów [1:23:11]</li> <li>Pole trójkąta wpisanego w okrąg [1:24:49]</li> <li>Okrąg wpisany w trójkąt [1:26:31]</li> <li>Okręgi wpisane w różne trójkąty – długość promienia r [1:32:15]</li> <li>Zadanie 40: długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt – 4 przykłady [1:37:28]</li> <li>Zadanie 41: długość boku trójkąta równobocznego, okrąg wpisany – 2 przykłady [1:44:18]</li> <li>Zadanie 42: okrąg wpisany w trójkąt prostokątny – 4 przykłady [1:46:54]</li> <li>Zadanie 43: okrąg wpisany w trójkąt równoramienny – 2 przykłady [1:54:18]</li> <li>Zadanie 44: trójkąt, podane trzy boki, długości odcinków na które punkty styczności z okręgiem wpisanym podzieliły boki trójkąta (tw. o odcinkach stycznych) [2:01:09]</li> <li>Zadanie 45: trójkąt o podanych kątach, kąty trójkąta utworzonego przez punkty styczności z okręgiem wpisanym oraz okręgiem opisanym – 2 przykłady [2:03:21]</li> <li>Pole trójkąta opisanego na okręgu [2:10:55]</li> </ul>

<p>Ostatnia z lekcji rozszerzonych typowo tematycznych - okręgi i koła.</p> <p>Podczas tego lekko ponad 3-godzinowego nagrania omawiam 36 zadań, w których m.in. pokazuję zagadnienia z <a href="https://online.etrapez.pl/lesson/lekcja-5p-okregi-i-kola/">lekcji podstawowej</a> w nieco innym i trudniejszym kontekście. Do tego omawiam szeroko temat okręgów wpisanych w czworokąt i opisanych na czworokącie.</p> <h3>Spis treści:</h3> <ul> <li>Zadanie 1: dwie równoległe cięciwy, odległość między nimi [02:26]</li> <li>Zadanie 2: wzajemne położenie dwóch okręgów w zależności od parametru a [07:28]</li> <li>Zadanie 3: dwa okręgi styczne zewnętrznie, poprowadzone styczne do tych okręgów, wyznaczenie długości danych odcinków [21:48]</li> <li>Zadanie 4: styczne do okręgów i sieczne, zastosowanie twierdzeń o stycznej i siecznej, o siecznych, twierdzenia cosinusów [32:28]</li> <li>Zadanie 5: trapez równoramienny ABCD, poprowadzona przekątna, promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC [39:08]</li> <li>Zadanie 6: trójkąt prostokątny, dwusieczna kąta ostrego podzieliła przeciwległy bok na dwa odcinki; stosunek promienia okręgu opisanego do promienia okręgu wpisanego [47:25]</li> <li>Zadanie 7: trójkąt równoboczny, podzielony na dwa trójkąty; stosunek promieni okręgów opisanych na nich – twierdzenie sinusów [55:11]</li> <li>Zadanie 8: dwa okręgi styczne zewnętrznie do siebie, prosta styczna do nich; promień okręgu stycznego do tych trzech obiektów – twierdzenie Pitagorasa [59:56]</li> <li>Okrąg opisany na czworokącie [1:08:31]</li> <li>Zadanie 9: czy na czworokącie o podanych kątach można opisać okrąg – 4 przykłady [1:21:23]</li> <li>Zadanie 10: okrąg opisany na czworokącie, miary kątów wewnętrznych – 2 przykłady [1:24:29]</li> <li>Zadanie 11: w trójkącie poprowadzono dwie wysokości; czy da się opisać okrąg na wybranym czworokącie – 2 przykłady [1:28:41]</li> <li>Zadanie 12: okrąg opisany na czworokącie, podane przekątna, promień i iloczyn sinusów kątów; długość drugiej przekątnej – twierdzenie sinusów [1:36:53]</li> <li>Okrąg opisany na kwadracie i na prostokącie [1:42:52]</li> <li>Okrąg opisany na trapezie [1:45:36]</li> <li>Zadanie 13: trapez równoramienny wpisany w okrąg, podany promień i odległości środka okręgu od podstaw; obwód trapezu [1:48:39]</li> <li>Zadanie 14: trapez równoramienny o podanych podstawach i ramieniu; promień okręgu opisanego na tym trapezie [1:53:20]</li> <li>Zadanie 15: trapez o podanej podstawie i wysokości, opisano na nim okrąg; pole trapezu (2 przypadki) [1:57:03]</li> <li>Zadanie 16: trapez równoramienny o podanej przekątnej i promieniu okręgu opisanego; pole trapezu [2:02:09]</li> <li>Zadanie 17: trapez o podanych podstawach i wysokości, opisano na nim okrąg; promień okręgu oraz odległość środka od ramienia [2:06:00]</li> <li>Okrąg wpisany w czworokąt [2:11:38]</li> <li>Zadanie 18: czy w czworokąt o podanych bokach można wpisać okrąg – 4 przykłady [2:17:21]</li> <li>Zadanie 19: okrąg wpisany w czworokąt, miary kątów wewnętrznych – 2 przykłady [2:20:27]</li> <li>Zadanie 20: trapez opisany na okręgu, podana długość odcinka łączącego środki ramion; obwód trapezu [2:22:49]</li> <li>Okrąg wpisany w kwadrat i w romb [2:25:41]</li> <li>Zadanie 21: okrąg wpisany w romb i kwadrat – 2 przykłady [2:28:18]</li> <li>Okrąg wpisany w trapez [2:30:43]</li> <li>Zadanie 22: trapez prostokątny opisany na okręgu, długość dłuższego ramienia; pole i obwód trapezu [2:34:18]</li> <li>Zadanie 23: trapez o polu P i kątach ostrych przy podstawie; promień okręgu wpisanego [2:38:25]</li> <li>Zadanie 24: okrąg wpisany w romb; punkt styczności podzielił bok na dwa odcinki; pole rombu i długości jego przekątnych [2:45:20]</li> <li>Zadanie 25: trapez równoramienny o podanym ramieniu i przekątnej; promienie okręgów wpisanego i opisanego na tym trapezie [2:50:02]</li> <li>Zadanie 26: trójkąt równoramienny, na jego ramieniu opisano okrąg; pole powstałego czworokąta [2:54:18]</li> </ul>