---

Miejsce i czas akcji

Obliczanie pochodnych kierunkowych jako temat do przerobienia (czyli do zaliczenia) plasują się właściwie tuż po pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych, które większość studentów przerabia w II semestrze.

Jest to temat na tyle rzadko jednak podejmowany, że nie uwzględniłem go w swoim Kursie do pochodnych cząstkowych i na tyle często, że wrzucę go na bloga – ku pożytkowi tych, którzy pochodnych kierunkowych nauczyć się muszą i tych, którzy są po prostu ciekawi, o co chodzi.

Zaznaczam jednak, że tak jak w Kursach skoncentruję dzisiaj prawie wyłącznie na praktyce („jak ja mam to zrobić?”), a nie na teorii („co ja właściwie robię?”).

 

Pochodne kierunkowe – jak ja mam to zrobić?

W przypadku pochodnej kierunkowej mamy do czynienia z jednoczesnym przyrostem argumentów x i y, któremu oczywiście odpowiada pewien przyrost wartości funkcji .

Do zadania potrzebujemy trzech rzeczy:

1. Funkcji, z której będziemy liczyć pochodną kierunkową.
2. Punktu, w którym będziemy liczyć pochodną kierunkową.
3. Kierunku danym w postaci wektora.

Mając powyższe, zadanie sprowadza się do przerobienia wektora na wektor kierunkowy (coś z geometrii analitycznej, pokażę jak to zrobić za moment), a potem wstawienia do wzoru:

W którym:

 to pochodna kierunkowa w punkcie w kierunku wektora

 to punkt, w którym liczymy pochodną kierunkową

 to współrzędne wektora kierunkowego

to pochodne cząstkowe funkcji   w punkcie .

 

Przykład 1

Oblicz pochodną kierunkową funkcji w punkcie  P(1,2)  w kierunku .

Rozwiązanie:

Wszystko jest dane na tacy, tylko z wektora   trzeba zrobić wektor kierunkowy.

Wektor kierunkowy to wektor o takim samym kierunku (kto by pomyślał), zwrocie, ale o długości 1.

Oblicza się go ze wzoru:

Czyli po prostu dzieli jego współrzędne przez jego długość.

No to liczymy długość wektora :

Po czym wychodzimy na wektor kierunkowy:

Do wzoru na pochodną kierunkową potrzebna nam będą jeszcze pochodne z funkcji w punkcie  P(1,2):

No i mamy wszystko, co potrzebne jest do wzoru:

Podstawiamy tylko i mamy wynik:  .

Zrobione.

 

Przykład 2

Znajdź pochodną kierunkową funkcji:    w punkcie  P(3,1)  w kierunku od tego punktu do punktu  Q(6,5).

Rozwiązanie:

Sprawa o tyle trudniejsza, że wektor kierunku nie jest dany wprost, ale cóż to dla nas.

Przesuwamy się od punktu P do punktu Q, wektor przesunięcia więc to wektor [3,4].

Teraz szukamy wektora kierunkowego licząc długość wektora [3,4]:

I mamy wektor kierunkowy:

Teraz liczymy pochodne cząstkowe w punkcie (3,1):

No i podstawiamy tylko do wzoru na pochodną kierunkową:

 

Przykład 3

Znajdź pochodną kierunkową funkcji  w punkcie  (1,2) w kierunku tworzącym z dodatnią półosią X  kąt  .

Rozwiązanie:

Zadanie niby trudniejsze, ze względu na brak w danych wektora kierunku. Narysujmy jednak całą rzecz:

Rozchodzi się o to, żeby znaleźć współrzędne byle jakiego wektora o zaznaczonym kierunku.

Korzystamy z tego, że  i możemy przyjąć sobie, że nasz wektor ma współrzędne , jak na rysunku (wystarczyło wybrać byle jaki wektor o kierunku jak kierunek prostej):

No i teraz już po staremu.

Liczymy wektor kierunkowy:

Potem pochodne cząstkowe w punkcie (1,2):

Podstawiamy do wzoru i mamy wynik