Lekcja 9 – Planimetria

Lekcja zawiera 4-godzinne video, a w nim 10 rozwiązanych zadań zamkniętych, 5 zadań kodowanych i 15 otwartych, dotyczących planimetrii, czyli geometrii na płaszczyźnie, na poziomie rozszerzonym szkoły średniej. Jest ona pierwszą z trzech lekcji tej części Kursu, dotyczących geometrii.

Obejmuje takie zagadnienia jak: kąty, trójkąty, czworokąty, trapez, romb, równoległobok, figury podobne, pole, obwód, okrąg wpisany i opisany na trójkącie oraz czworokącie, twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów - te dwa ostatnie to klasyk na rozszerzeniu.

Lekcja ta wymaga nieco wyobraźni i ciekawych pomysłów na rozwiązanie. Często warto zastosować pewne triki, by dojść do ostatecznego wyniku. Spokojnie, wszystko to postaram się Ci pokazać, byś przede wszystkim zrozumiał ich działanie. :)

Oprócz ogromnej ilości wzorów zawartych w tablicach maturalnych, przedstawiam tu wiele przydatnych i cennych twierdzeń, schematów i własności. Przydadzą się nawet te poznane jeszcze w podstawówce.

Spis treści:

• Zadanie 1: twierdzenie cosinusów, określenie kątów trójkąta o podanych bokach [09:17]
• Zadanie 2: pole trójkąta, a długości boków [18:05]
• Zadanie 3: czworokąt, połączenie środków boków [24:34]
• Zadanie 4: twierdzenie o dwusiecznej [32:50]
• Zadanie 5: długość środkowej w trójkącie, trójkąt prostokątny [36:04]
• Zadanie 6: okrąg, cięciwa, sieczna, twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej [38:59]
• Zadanie 7: trapez, przekątna dzieli go na dwa trójkąty podobne, obliczenie długość dłuższej podstawy [48:04]
• Zadanie 8: półokrąg wpisany w trójkąt prostokątny [54:21]
• Zadanie 9: okrąg wpisany w trapez prostokątny, długość dłuższego ramienia [1:00:26]
• Zadanie 10: czworokąt z podanymi kątami, okrąg opisany i wpisany w czworokąt [1:05:02]
• Zadanie 11: trójkąt, podane boki, obliczenie promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, wykorzystanie wzoru Herona na pole trójkąta [1:10:37]
• Zadanie 12: okrąg opisany na trójkącie rozwartokątnym, twierdzenie sinusów [1:16:42]
• Zadanie 13: trapez, podane boki, tangens najmniejszego konta, twierdzenie Talesa [1:25:10]
• Zadanie 14: trójkąt prostokątny, poprowadzone środkowe z kątów ostrych, pole trójkąta ABM [1:32:35]
• Zadanie 15: trapez równoramienny, wpisano w niego okrąg o promieniu r, obliczenie promienia okręgu opisanego na trapezie [1:45:01]
• Zadanie 16: dowód - trójkąt równoboczny, dowolny punkt P wewnątrz trójkąta, odległość punku P jest stała [1:56:37]
• Zadanie 17: dowód – suma długości dwóch środkowych w trójkącie jest mniejsza od jego obwodu, nierówność trójkąta [2:01:58]
• Zadanie 18: dowód – wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, twierdzenie o okręgach stycznych [2:06:43]
• Zadanie 19: dowód – trójkąt ostrokątny, poprowadzone dwie wysokości i środkową, zależności między odcinkami [2:11:55]
• Zadanie 20: dowód – trójkąt ostrokątny, poprowadzone dwie wysokości, zależności między wybranymi kątami [2:19:02]
• Zadanie 21: dowód – trójkąt ostrokątny, poprowadzone środkowa i odcinek dzielący środkową na pół, zależności między odcinkami, twierdzenie Talesa, trójkąty podobne [2:23:05]
• Zadanie 22: dowód – trapez, podana skala podobieństwa, zależności między polami trójkątów [2:31:18]
• Zadanie 23: trójkąt prostokątny, okrąg wpisany w trójkąt, długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z dłuższą przyprostokątną [2:42:14]
• Zadanie 24: trójkąt, podzielony na dwa trójkąty, zastosowanie twierdzenia cosinusów [2:48:42]
• Zadanie 25: trapez prostokątny, okrąg wpisany w trapez, odległości środka okręgu od końców dłuższego ramienia, obliczenie obwodu trapezu [2:54:51]
• Zadanie 26: równoległobok, podany kąt ostry i odległości punktu przecięcia przekątnych od dwóch sąsiednich boków, cosinus kąta przecięcia przekątnych [3:02:44]
• Zadanie 27: trapez równoramienny, przekątne są dwusiecznymi kątów, obliczenie pola koła wpisanego w mniejszy trójkąt CDM [3:14:55]
• Zadanie 28: trójkąt równoramienny o podanych bokach, przedłużono podstawę, narysowano różne odcinki, dołożenie układu współrzędnych, długość odcinka [3:27:03]
• Zadanie 29: kwadrat, podzielony na kilka trójkątów, pole jednego z nich [3:40:09]
• Zadanie 30: trapez, podzielony na trapez, trójkąt i równoległobok [3:49:50]