Lekcja 8 – Równania różniczkowe II rzędu liniowe o zmiennych współczynnikach Eulera (ARTYKUŁ)

Co już trzeba umieć?

Przed przystąpieniem do artykułu przerób porządnie:

…inaczej będzie on dla Ciebie zupełnie niezrozumiały.

Wstęp

Na Lekcji 5 przedstawiłem równania różniczkowe liniowe II rzędu postaci:

$a{y}''+b{y}'+cy=f(x)$

Trzeba zwrócić uwagę, że pokazane tam metody „działają” tylko wtedy, gdy współczynniki $a,b,c$ , to stałe liczby.

Co robić w sytuacji, gdy współczynniki przy zmiennej $y$ i jej pochodnych to zmienne $x$ ?
Na przykład: ${{x}^{2}}{y}''+3x{y}'+2y=x+4$ ?

Równania różniczkowe Eulera – kiedy stosujemy?

Równania różniczkowe Eulera to równania postaci:

$a{{x}^{2}}{y}''+bx{y}'+cy=f(x)$

Uwaga: jest to dosyć wąska grupa równań, w których zmienny współczynnik przy ${{y}''}$ to ${{x}^{2}}$ , przy ${{y}'}$ to $x$ , a przy $y$ to stała.

Równania różniczkowe Eulera – metoda przewidywań

Jak wcześniej, rozwiązanie ogólne będzie sumą rozwiązania równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego.

$y={{y}_{j}}+{{y}_{p}}$

Rozwiązanie szczególne znajdziemy metodą przewidywań.

Zadanie składa się z dwóch części, najpierw szukamy ${{y}_{j}}$ , a potem ${{y}_{p}}$ .

1. ${{y}_{j}}$

Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli:

$a{{x}^{2}}{y}''+bx{y}'+cy=0$

W stosunku do Lekcji 5 będą tu jednak spore różnice.

Szukamy rozwiązań w innej postaci, mianowicie funkcji potęgowej:

$y={{x}^{r}}$

Skoro $y={{x}^{r}}$ , to:

${y}'=r{{x}^{r-1}}$

${y}''=r( r-1 ){{x}^{r-2}}$

Wstawiamy to wszystko do równania $a{{x}^{2}}{y}''+bx{y}'+cy=0$ i mamy:

$a{{x}^{2}}r( r-1 ){{x}^{r-2}}+bxr{{x}^{r-1}}+c{{x}^{r}}=0$

$ar( r-1 ){{x}^{r}}+br{{x}^{r}}+c{{x}^{r}}=0 /:{{x}^{r}}$

$ar( r-1 )+br+c=0$

To jest nasze równanie charakterystyczne, czyli „zwykłe” równanie kwadratowe, z deltą itd. Rozwiązujemy je zwykłymi metodami ze szkoły średniej i mamy trzy możliwości:

$increment greater than 0$ i dwa różne od siebie ${{r}_{1}},{{r}_{2}}$ . W tym przypadku rozwiązanie równania jednorodnego to: ${{y}_{j}}={{C}_{1}}{{x}^{{{r}_{1}}}}+{{C}_{2}}{{x}^{{{r}_{2}}}}$ .
$increment equals 0$ i jeden pierwiastek ${{r}_{0}}$ . W tym przypadku: ${{y}_{j}}={{C}_{1}}{{x}^{{{r}_{0}}}}+{{C}_{2}}{{x}^{{{r}_{0}}}}ln x$ .
$increment less than 0$ i dwa różne pierwiastki zespolone postaci: $r subscript 1 equals alpha minus beta i$ , $r subscript 2 equals alpha plus beta i$ . W tym przypadku: $y subscript j equals x to the power of alpha open parentheses C subscript 1 cos open parentheses beta ln x close parentheses plus C subscript 2 sin open parentheses beta ln x close parentheses close parentheses$

2. ${{y}_{p}}$

Stosujemy standardowe metody z Lekcji 5. W przypadku, gdy rozwiązanie przewidywane jest już częścią rozwiązania jednorodnego, stosujemy metodę uzmienniania stałych.

Na koniec nie zapomnijmy napisać odpowiedzi, tzn:

$y={{y}_{j}}+{{y}_{p}}$ .

Równania różniczkowe Eulera – metoda uzmienniania stałych

Postępujemy analogicznie jak na Lekcji 5, z malutką różnicą w układzie równań do rozwiązania.

Rozwiązujemy równanie jednorodne, mamy $y subscript j$ , „uzmienniamy” w nim stałe. Mamy więc:

$y subscript j equals C subscript 1 open parentheses x close parentheses times square plus C subscript 2 open parentheses x close parentheses times triangle$

Tworzę układ równań:

$open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell C subscript 1 apostrophe open parentheses x close parentheses times square plus C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses times triangle equals 0 end cell row cell C subscript 1 apostrophe open parentheses x close parentheses times square apostrophe plus C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses times triangle apostrophe equals fraction numerator f open parentheses x close parentheses over denominator a x squared end fraction end cell end table close$

Rozwiązuję go, wyznaczając zmienne ${{C}_{1}}( x )$ i ${{C}_{2}}( x )$ . Wstawiam je do $y subscript j equals C subscript 1 open parentheses x close parentheses times square plus C subscript 2 open parentheses x close parentheses times triangle$ i mam odpowiedź.

Przykład 1 – metoda przewidywań

${{x}^{2}}{y}''+3x{y}'+2y=x+4$

Identyfikacja? Jest to równanie różniczkowe Eulera, współczynnik przy ${{y}''}$ to stała $a equals 1$ i ${{x}^{2}}$ , współczynnik przy ${{y}'}$ to stała $b equals 3$ i $x$ , współczynnik przy $y$ to stała $c equals 2$ , po prawej stronie równania jest funkcja zmiennej niezależnej $x$ .

1. ${{y}_{j}}$

Rozwiązuję równanie:

${{x}^{2}}{y}''+3x{y}'+2y=0$

$y={{x}^{r}}$

${y}'=r{{x}^{r-1}}$

${y}''=r( r-1 ){{x}^{r-2}}$

${{x}^{2}}r( r-1 ){{x}^{r-2}}+3xr{{x}^{r-1}}+2{{x}^{r}}=0$

$r( r-1 ){{x}^{r}}+3r{{x}^{r}}+2{{x}^{r}}=0 /:{{x}^{r}}$

$r( r-1 )+3r+2=0$

${{r}^{2}}-r+3r+2=0$

${{r}^{2}}+2r+2=0$

$increment equals 2 squared minus 4 times 1 times 2 equals negative 4$

$square root of increment equals square root of negative 4 end root equals plus-or-minus 2 i$

$r subscript 1 equals fraction numerator negative 2 minus 2 i over denominator 2 end fraction equals negative 1 minus i$

$r subscript 2 equals fraction numerator negative 2 plus 2 i over denominator 2 end fraction equals negative 1 plus i$

$y subscript j equals x to the power of negative 1 end exponent open parentheses C subscript 1 cos open parentheses ln x close parentheses plus C subscript 2 sin open parentheses ln x close parentheses close parentheses$

2. ${{y}_{p}}$

Prawa strona równości to $x+4$ .

Stosując rozumowanie analogiczne do Lekcji 5, przewiduję, że rozwiązanie szczególne będzie postaci: ${{y}_{p}}=Ax+B$ .

A więc:

$y subscript p apostrophe equals A$

$y subscript p apostrophe apostrophe equals 0$

Podstawiając to do równania ${{x}^{2}}{y}''+3x{y}'+2y=x+4$ mam:

$x squared times 0 plus 3 x times A plus 2 times open parentheses A x plus B close parentheses equals x plus 4$

$3 A x plus 2 A x plus 2 B equals x plus 4$

$5 A x plus 2 B equals x plus 4$

Aby wielomiany po lewej i prawej stronie były sobie równe, ich współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być równe, stąd:

$open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 5 A equals 1 end cell row cell 2 B equals 4 end cell end table close$

Stąd:

$open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A equals 1 fifth end cell row cell B equals 2 end cell end table close$

Czyli:

$y subscript p equals 1 fifth x plus 2$

Odpowiedź

$y equals x to the power of negative 1 end exponent open parentheses C subscript 1 cos open parentheses ln x close parentheses plus C subscript 2 sin open parentheses ln x close parentheses close parentheses plus 1 fifth x plus 2$

Przykład 2 – metoda uzmienniania stałych

${{x}^{2}}{y}''+x{y}'=12ln x$

Identyfikacja: To jest równanie różniczkowe Eulera, w którym $c=0$ .

Ze względu na postać prawej strony równania wybieram metodę uzmienniania stałych.

Rozwiązuję równanie jednorodne:

${{x}^{2}}{y}''+x{y}'=0$

$y={{x}^{r}}$ ${y}'=r{{x}^{r-1}}$

${y}''=r( r-1 ){{x}^{r-2}}$

${{x}^{2}}r( r-1 ){{x}^{r-2}}+xr{{x}^{r-1}}=0$

$r( r-1 ){{x}^{r}}+r{{x}^{r}}=0 /:{{x}^{r}}$

$r( r-1 )+r=0$

${{r}^{2}}-r+r=0$

${{r}^{2}}=0$

${{r}_{0}}=0$

${{y}_{j}}={{C}_{1}}{{x}^{0}}+{{C}_{2}}{{x}^{0}}ln x$

${{y}_{j}}={{C}_{1}}+{{C}_{2}}ln x$

Uzmienniam stałe:

$y={{C}_{1}}( x )+{{C}_{2}}( x )ln x$

Tworzę odpowiedni układ równań:

$open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell C subscript 1 apostrophe open parentheses x close parentheses plus C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses ln x equals 0 end cell row cell C subscript 1 apostrophe open parentheses x close parentheses times 1 apostrophe plus C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses open parentheses ln x close parentheses apostrophe equals fraction numerator 12 ln x over denominator x squared end fraction end cell end table close$

$open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell C subscript 1 apostrophe open parentheses x close parentheses plus C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses ln x equals 0 end cell row cell fraction numerator C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses over denominator x end fraction equals fraction numerator 12 ln x over denominator x squared end fraction end cell end table close$

Na ogół trzeba to robić wzorami Cramera, ale w tym przypadku można trochę prościej, tzn. z drugiego równania wyznaczyć od razu ${{C}_{2}}( x )$ :

$fraction numerator C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses over denominator x end fraction equals fraction numerator 12 ln x over denominator x squared end fraction space space divided by times x$

$C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 12 ln x over denominator x end fraction$

$integral fraction numerator 12 ln x over denominator x end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals ln x end cell row cell d t equals 1 over x d x end cell end table close vertical bar equals integral 12 t d t equals 12 times 1 half t squared plus C equals 6 t squared plus C equals 6 ln squared x plus C$

$C subscript 2 open parentheses x close parentheses equals 6 ln squared x plus C subscript 2$

Wstawiam też $C subscript 2 apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 12 ln x over denominator x end fraction$ do równania pierwszego z układu i mam:

$C subscript 1 apostrophe open parentheses x close parentheses plus fraction numerator 12 ln x over denominator x end fraction times ln x equals 0$

$C subscript 1 apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative fraction numerator 12 ln squared x over denominator x end fraction$

$integral open parentheses negative fraction numerator 12 ln squared x over denominator x end fraction close parentheses d x equals negative 12 integral fraction numerator ln squared x over denominator x end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals ln x end cell row cell d t equals 1 over x d x end cell end table close vertical bar equals negative 12 integral t squared d t equals negative 12 times 1 third t cubed plus C equals equals negative 4 t cubed plus C equals negative 4 ln cubed x plus C$

${{C}_{1}}( x )=-4{{ln }^{3}}x+{{C}_{1}}$

Wstawiając wyznaczone ${{C}_{1}}( x )$ i ${{C}_{2}}( x )$ do rozwiązania równania jednorodnego $y={{C}_{1}}( x )+{{C}_{2}}( x )ln x$ mam:

Odpowiedź

$y=-4{{ln }^{3}}x+{{C}_{1}}+( 6{{ln }^{2}}x+{{C}_{2}} )ln x=-4{{ln }^{3}}x+{{C}_{1}}+6{{ln }^{3}}x+{{C}_{2}}ln x={{C}_{1}}+{{C}_{2}}ln x+2{{ln }^{3}}x$

Lekcja 8 – Równania różniczkowe II rzędu liniowe o zmiennych współczynnikach Eulera (ARTYKUŁ)

Lekcja 8 – Równania różniczkowe II rzędu liniowe o zmiennych współczynnikach Eulera (ARTYKUŁ)

Co już trzeba umieć?

Wstęp

Równania różniczkowe Eulera – kiedy stosujemy?

Równania różniczkowe Eulera – metoda przewidywań

1.

2.

Równania różniczkowe Eulera – metoda uzmienniania stałych

Przykład 1 – metoda przewidywań

1.

2.

Odpowiedź

Przykład 2 – metoda uzmienniania stałych

Odpowiedź

Zaloguj się

Zarejestruj się

1. ${{y}_{j}}$

2. ${{y}_{p}}$

1. ${{y}_{j}}$

2. ${{y}_{p}}$