Studia
Szkoła średnia
Wirtualny Krystian (od 29,90 zł / miesiąc)

Najpopularniejsze Kursy w maju
Paczka Wszystkich Kursów eTrapez (w cenie 8,03 zł / Kurs)
Zobacz darmowe Lekcje

Kurs Funkcje Wielu Zmiennych
Zobacz wszystkie Kursy

Zapisz się na ten Kurs
Zaloguj się, jeśli jesteś już zapisany

Przykładowy fragment Kursu

Zalicz wszystkie Testy na 80%, aby otrzymać Certyfikat!

Kurs Funkcje Wielu Zmiennych jest multimedialnym kursem edukacyjnym, podzielonym tematycznie na 10 Lekcji. Pierwsza Lekcja poświęcona jest liczeniu pochodnych cząstkowych, ostatnia – granicom oraz ciągłości funkcji wielu zmiennych.

Kurs zawiera łącznie około 580 minut nagrań video, na których powoli i od podstaw tłumaczę i pokazuję jak rozwiązywać zadania.

Do nagrań dołączonych jest 88 pytań testowych sprawdzających wiedzę i 134 wybranych zadań praktycznych.

W tym Kursie dzielę się wiedzą zgromadzoną przez wiele lat intensywnego nauczania pochodnych cząstkowych i funkcji wielu zmiennych studentów różnych uczelni. Dowiesz się z niego, między innymi:

  • jak w prosty i naturalny sposób zacząć obliczać pochodne cząstkowe przy pomocy zwykłych pochodnych
  • jaki jest schemat “krok po kroku” obliczania ekstremów lokalnych funkcji dwóch i więcej zmiennych
  • dlaczego przy obliczaniu przybliżonych wartości funkcji czasami trzeba zamieniać stopnie na radiany (a kiedy nie trzeba)
  • czym różnią się funkcje uwikłane od złożonych
  • jak wiedzę ze szkoły średniej wykorzystać do rysowania dziedziny funkcji dwóch zmiennych
  • jakie są różnice w ekstremach lokalnych, globalnych i warunkowych

…i wielu, wielu innych praktycznych, wypróbowanych “sztuczek”, które oprócz solidnej, ponad 7-godzinnej elementarnej porcji wiedzy pozwolą Tobie zadziwić może nawet samego siebie na kolokwium, czy egzaminie z funkcji wielu zmiennych.

Lekcja 1 – Pochodne cząstkowe

Długość: 94 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Na tej Lekcji uczymy się liczyć pochodne cząstkowe, korzystając ze schematów i wzorów na „zwykłe”, znane już nam pochodne. Na końcu pokazuję, jak wykazać prawdziwość równania z pochodnymi cząstkowymi.

Spis treści cz. 1

  • wprowadzenie do pojęcia funkcji wielu zmiennych i do jej pochodnych cząstkowych, wzory [03:51]

 

Spis treści cz. 2

  • pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 1 [00:00]
  • pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 2 [07:24]
  • pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 3 [12:36]
  • pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 4 [18:32]
  • pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 5 [25:32]
  • pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 6 [29:52]
  • pochodna cząstkowa pierwszego rzędu funkcji trzech zmiennych – przykład [35:36]
  • pochodne cząstkowe drugiego rzędu – omówienie [39:16]
  • pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 1 [44:00]
  • pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 2 [52:06]
  • pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład 3 [58:19]
  • pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji trzech zmiennych – przykład [01:05:12]
  • pochodna cząstkowa czwartego rzędu funkcji dwóch zmiennych – przykład [01:13:21]
  • sprawdzanie i wykazywanie prawdziwości równania – przykład 1 [01:17:07]
  • sprawdzanie i wykazywanie prawdziwości równania – przykład 2 [01:19:48]

Lekcja 2 – Ekstremum (lokalne) funkcji wielu zmiennych

Długość: 108 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Trudna

W tej Lekcji omawiam najbardziej popularny typ zadań z funkcji wielu zmiennych – obliczanie ekstremów lokalnych.

Pokazuję mój schemat „krok po kroku” na obliczanie takich ekstremów.

Spis treści

  • podstawowe wzory – omówienie [02:04]
  • wprowadzenie do pojęcia ekstremum funkcji kilku zmiennych (wykresy) [04:26]
  • podział materiału do ekstremów lokalnych [11:40]
  • schemat obliczania ekstremum funkcji dwóch zmiennych [13:54]
  • ekstremum funkcji dwóch zmiennych (z liczbami jako pochodnymi cząstkowymi II rzędu) – przykład 1 [16:04]
  • ekstremum funkcji dwóch zmiennych (z liczbami jako pochodnymi cząstkowymi II rzędu) – przykład 2 [29:18]
  • ekstremum funkcji dwóch zmiennych – przykład 3 [34:21]
  • ekstremum funkcji dwóch zmiennych – przykład 4 [43:40]
  • ekstremum funkcji dwóch zmiennych – przykład 5 [59:29]
  • schemat obliczania ekstremum funkcji wielu zmiennych hesjanem [01:14:11]
  • ekstremum funkcji trzech zmiennych (hesjanem) – przykład 1 [01:17:09]
  • ekstremum funkcji dwóch zmiennych (hesjanem) – przykład [01:23:23]
  • ekstremum funkcji trzech zmiennych (hesjanem) – przykład 2 [01:27:22]
  • ekstremum funkcji trzech zmiennych (hesjanem) – przykład 3 [01:35:08]

Lekcja 3 – Przybliżone wartości wyrażeń

Długość: 44 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Na tej Lekcji pokazuję, jak zastosować pochodne cząstkowe i tzw. „różniczkę zupełną” do obliczania przybliżonych wartości.

Oprócz zwykłego schematu wrzucam – jak zawsze – kilka rad praktycznych, np. kiedy zamieniać stopnie na radiany, a kiedy niekoniecznie.

Spis treści

  • podstawowy wzór na obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń (wzór na różniczkę funkcji dwóch zmiennych) [01:01]
  • przybliżone wartości – omówienie [04:48]
  • obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń – przykład 1 [08:24]
  • obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń – przykład 2 [14:57]
  • obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń (wartości funkcji trygonometrycznych) – przykład 3 [19:59]
  • obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń – przykład 4 [28:37]
  • obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń (wartości funkcji cyklometrycznych) – przykład 5 [33:48]
  • objętość stożka – zadanie z treścią [37:53]

Lekcja 4 – Pochodne funkcji złożonych

Długość: 37 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Na tej Lekcji pokazuję, czym są właściwie funkcje złożone w kontekście funkcji wielu zmiennych. Omawiam 2 rodzaje takich funkcji.

Uczę, jak najlepiej stosować wzór na pochodną takich funkcji i jak wykorzystywać go do zadań np. na sprawdzenie prawdziwości równania.

Spis treści

  • podstawowe wzory – omówienie [00:44]
  • wzory na obliczanie pochodnych z funkcji złożonych jednej zmiennej [00:56]
  • wzory na obliczanie pochodnych z funkcji złożonych dwóch zmiennych [03:23]
  • pochodne funkcji złożonej jednej zmiennej – przykład 1 [05:54]
  • pochodne funkcji złożonej jednej zmiennej – przykład 2 [09:12]
  • pochodne funkcji złożonej dwóch zmiennych – przykład 1 [13:00]
  • pochodne funkcji złożonej dwóch zmiennych – przykład 2 [17:20]
  • pochodne funkcji złożonych z niewiadomymi funkcjami – przykład 1 [24:36]
  • pochodne funkcji złożonych z niewiadomymi funkcjami – przykład 2 [27:18]
  • wykazanie, czy dana funkcja spełnia równanie z pochodnymi cząstkowymi – przykład [29:33]

Lekcja 5 – Pochodne kierunkowe (ARTYKUŁ)

Długość: 0 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Łatwa

Obliczanie pochodnych kierunkowych jako temat do przerobienia (czyli do zaliczenia) plasują się właściwie tuż po pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych, które większość studentów przerabia w II semestrze.

Lekcja 6 – Dziedzina funkcji

Długość: 49 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Lekcja poświęcona obliczaniu dziedziny funkcji wielu zmiennych (koncentruję się na dwóch zmiennych).

Mimo, że temat dziedziny pojawia się już od szkoły średniej, traktuję tu sprawę zupełnie od podstaw.

Tym bardziej, że w tym przypadku konieczne będzie rysowanie obszaru – powtarzam więc wiele związanych z tym rzeczy ze szkoły średniej.

Spis treści

  • wyjaśnienie, czym jest dziedzina funkcji [01:52]
  • podstawowe założenia do dziedziny funkcji [07:38]
  • rysowanie obszaru stanowiącego dziedzinę (z pierwiastkami, logarytmami) – przykład 1 [09:30]
  • rysowanie obszaru stanowiącego dziedzinę (z ułamkami, pierwiastkami) – przykład 2 [18:31]
  • rysowanie obszaru stanowiącego dziedzinę (z logarytmami) – przykład 3 [25:11]
  • rysowanie obszaru stanowiącego dziedzinę (z pierwiastkami) – przykład 4 [29:08]
  • rysowanie obszaru stanowiącego dziedzinę (z pierwiastkami) – przykład 5 [32:36]
  • rysowanie obszaru stanowiącego dziedzinę (z pierwiastkami, logarytmami) – przykład 6 [35:36]
  • rysowanie obszaru stanowiącego dziedzinę (z arcsin) – przykład 7 [39:05]

Lekcja 7 – Funkcje uwikłane

Długość: 34 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Na tej lekcji zajmuję się funkcjami uwikłanymi – tłumaczę różnicę pomiędzy nimi, a funkcjami złożonymi, liczę pochodne, ekstrema, styczne, normalne…

Spis treści

  • wyjaśnienie, czym jest funkcja uwikłana [00:31]
  • wzory na pochodną funkcji uwikłanej pierwszego i drugiego rzędu [02:54]
  • obliczanie pochodnej pierwszego rzędu z funkcji uwikłanej – przykład 1 [05:30]
  • obliczanie pochodnej pierwszego rzędu z funkcji uwikłanej – przykład 2 [07:22]
  • obliczanie pochodnej pierwszego rzędu z funkcji uwikłanej – przykład 3 [08:23]
  • obliczanie pochodnej pierwszego rzędu z funkcji uwikłanej – przykład 4 [09:29]
  • obliczanie pochodnej drugiego rzędu z funkcji uwikłanej – przykład [12:25]
  • schemat na obliczanie ekstremów funkcji uwikłanej [15:50]
  • obliczanie ekstremów z funkcji uwikłanej – przykład [19:15]
  • równania stycznej i normalnej do krzywej w postaci uwikłanej – omówienie [26:20]
  • obliczanie stycznej i normalnej – przykład [28:34]

Lekcja 8 – Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne)

Długość: 41 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Na tej Lekcji pokazuję, jak liczyć ekstrema globalne funkcji dwóch zmiennych, zwane też inaczej: najmniejszymi i największymi wartościami.

Spis treści

  • różnica pomiędzy ekstremami lokalnymi a globalnymi [04:00]
  • schemat na obliczanie najmniejszej i największej wartości funkcji [07:05]
  • obliczanie najmniejszej i największej wartości funkcji (na prostokącie) – przykład 1 [10:18]
  • obliczanie najmniejszej i największej wartości funkcji (na trójkącie) – przykład 2 [25:19]
  • obliczanie najmniejszej i największej wartości funkcji (na okręgu) – przykład 3 [34:57]

Lekcja 9 – Ekstrema warunkowe (mnożnik Lagrange’a)

Długość: 36 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Na tej Lekcji zajmuje się trzecim typem ekstremów – ekstremami warunkowymi, liczonymi przy pomocy tzw. „mnożnika Lagrange’a”.

Spis treści

  • co to jest ekstremum warunkowe funkcji [01:03]
  • schemat na obliczanie ekstremów warunkowych funkcji [01:55]
  • obliczanie ekstremów warunkowych funkcji – przykład 1 [06:42]
  • obliczanie ekstremów warunkowych funkcji – przykład 2 [14:59]
  • obliczanie ekstremów warunkowych funkcji – przykład 3 [25:22]

Lekcja 10 – Granice funkcji wielu zmiennych

Długość: 143 minutyAutor: Krystian KarczyńskiTrudność: Standardowa

Na tej Lekcji pokazuję, jak oblicza się granice funkcji wielu zmiennych. Niestety, nie jest to tylko proste rozszerzenie metod ze „zwykłych” granic jednej zmiennej. Wymaga zastosowania wielu zupełnie nowych metod i podejść.

Omawiam również różne przykłady z granic iterowanych i ciągłości funkcji.

Spis treści cz. 1 (granice funkcji dwóch zmiennych)

  • podział na granice podwójne i granice iterowane [06:19]
  • zastosowanie znanych metod z granic funkcji jednej zmiennej – przykład 1 i 2 [11:00]
  • zastosowanie znanych metod z granic funkcji jednej zmiennej – przykład 3 i 4 [16:50]
  • granice funkcji dwóch zmiennych (def. Heinego) – przykład 5 [20:21]
  • granice funkcji dwóch zmiennych (def. Heinego) – przykład 6 [33:49]
  • wykazywanie, że ta granica nie istnieje – przykład 7 [38:02]
  • wykazywanie, że ta granica nie istnieje – przykład 8 [41:20]
  • granice funkcji dwóch zmiennych (tw. o trzech ciągach) – przykład 9 [44:39]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 10 [57:02]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 11 [1:08:07]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 12 [1:14:50]
  • granice funkcji dwóch zmiennych (z sinusem) – przykład 13 [1:21:43]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 14 [1:23:36]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 15 [1:26:57]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 16 [1:28:30]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 17 [1:31:31]
  • granice funkcji dwóch zmiennych – przykład 18 [1:33:56]
  • granice funkcji dwóch zmiennych (wzór na e) – przykład 19 [1:34:46]
  • granice funkcji dwóch zmiennych (wzór na e) – przykład 20 [1:35:18]
  • granice funkcji dwóch zmiennych (wzór na e) – przykład 21 [1:36:55]

 

Spis treści cz. 2 (granice iterowane)

  • przypomnienie różnic między granicami iterowanymi, a podwójnymi [00:28]
  • granice iterowane – przykład 1 [01:48]
  • granice iterowane – przykład 2 [04:59]
  • granice iterowane i podwójne – przykład 3 [07:15]
  • granice iterowane i podwójne – przykład 4 [13:10]

 

Spis treści cz. 3 (granice funkcji trzech zmiennych)

  • granice z zastosowaniem metod z granic funkcji jednej zmiennej – przykład 1 [00:33]
  • granice z zastosowaniem metod z granic funkcji jednej zmiennej – przykład 2 [01:33]
  • granice funkcji trzech zmiennych – przykład 3 [02:27]
  • granice funkcji trzech zmiennych – przykład 4 [03:16]
  • granice funkcji trzech zmiennych – przykład 5 [10:02]

 

Spis treści cz. 4 (ciągłość funkcji wielu zmiennych)

  • warunek ciągłości funkcji wielu zmiennych [00:18]
  • ciągłość funkcji – przykład 1 [01:25]
  • ciągłość funkcji – przykład 2 [03:38]
  • ciągłość funkcji – przykład 3 [05:36]