Lekcja 5P – Okręgi i koła

Przed Tobą ostatnia lekcja tematyczna. Omawiam w niej okręgi i koła.

Lekcja piąta podstawowa podzielona jest na dwie części. Pierwsza, zawierająca ponad 3,5 godzinne video, przedstawia podstawowe definicje związane z kołem i okręgiem, twierdzenie o stycznej, wzajemne położenie dwóch okręgów, a także kąt wpisany i środkowy. W części drugiej video, ponad 2-godzinnej, omówione zostały twierdzenia o stycznej, siecznej i cięciwach oraz ważny temat okręgów wpisanych w trójkąt i opisanych na trójkącie.

Na ponad 100 przykładach przedstawiam jak je wykorzystać w zadaniach.

Spis treści

Podstawowe pojęcia: okrąg, promień okręgu, cięciwa, średnica, łuk okręgu, długość okręgu [02:30]
Zadanie 1: Długość okręgu, długość łuku, promienie – 5 przykładów [06:07]
Cięciwa i promień: promień przechodzący przez środek cięciwy prostopadły do niej – dowód [09:08]
Zadanie 2: odległość środka okręgu od cięciwy, promień okręgu, długość okręgu – 4 przykłady [14:00]
Wzajemne położenie jednej prostej i okręgu [23:56]
Zadanie 3: ustalenie wzajemnego położenia prostej k i okręgu – 3 przykłady [27:24]
Zadanie 4: ustalenie wzajemnego położenia prostej k i okręgu o z parametrem a – 3 przykłady [32:34]
Proste styczne do okręgu [45:34]
Zadanie 5: styczna do okręgu, podany promień i odległość końca A średnicy od prostej, wyznaczenie odległości końca B od prostej [47:23]
Twierdzenie o odcinkach stycznych wraz z dowodem [51:49]
Zadanie 6: okrąg o podanym promieniu, poprowadzone dwie styczne z punktu poza okręgiem; pole czworokąta, kąt między stycznymi – 2 przykłady [55:13]
Zadanie 7: styczne do okręgu poprowadzone z jednego punktu, dodatkowo trzecia styczna; obwód powstałego trójkąta [1:00:54]
Zadanie 8: trójkąt opisany na okręgu, podane odcinki od wierzchołka do punktu styczności; obwód trójkąta [1:05:22]
Zadanie 9: półokrąg wpisany w trójkąt prostokątny [1:08:10]
Wzajemne położenie dwóch okręgów [1:12:16]
Zadanie 10: ustalenie wzajemnego położenia okręgów – 5 przykładów [1:21:00]
Zadanie 11: ustalenie wzajemnego położenia okręgów w zależności od parametru a – 2 przykłady [1:28:17]
Zadanie 12: okręgi styczne zewnętrznie lub wewnętrznie – 3 przykłady [1:38:36]
Zadanie 13: dwa okręgi współśrodkowe, cięciwa styczna do mniejszego okręgu [1:41:54]
Zadanie 14: trzy okręgi, dwa styczne zewnętrznie, jednocześnie styczne [1:43:54]
wewnętrznie do trzeciego, promień największego okręgu
Zadanie 15: trzy okręgi styczne zewnętrznie do siebie, pole i obwód trójkąta utworzonego przez środki okręgów [1:47:17]
Zadanie 16: dwa okręgi styczne zewnętrznie, prosta styczna do ich, pole utworzonego czworokąta (pole trapezu) [1:50:46]
Wspólne styczne dwóch okręgów [1:55:53]
Zadanie 17: dwa okręgi rozłączne, narysowana styczna wewnętrznie, odległość między punktami styczności [2:00:10]
Koło [2:05:28]
Zadanie 18: pole pierścienia kołowego – 2 przykłady [2:08:11]
Kąt środkowy [2:12:44]
Zadanie 19: kąt środkowy, długość łuku – 3 przykłady [2:15:39]
Wycinek koła [2:19:23]
Zadanie 20: wycinek koła, pole wycinka – 2 przykłady [2:22:25]
Zadanie 21: okrąg wpisany w wycinek koła – 2 przykłady [2:25:42]
Odcinek koła [2:32:36]
Zadanie 22: pola odcinków koła o podanym kącie środkowym i promieniu [2:38:20]
Kąt wpisany [2:42:26]
Kąt wpisany i kąt środkowy oparte na tym samym łuku – własność z dowodem [2:43:20]
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku – własność z dowodem [2:52:24]
Kąt wpisany oparty na półokręgu [2:53:55]
Zadanie 23: kąty w okręgu – 9 przykładów [2:55:49]
Zadanie 24: wyznaczenie miar kątów trójkąta – 2 przykłady [3:08:00]
Zadanie 25: zaznaczone kąty w okręgu – 3 przykłady [3:11:27]
Zadanie 26: podział okręgu na równych 12 łuków, miary kątów – 4 przykłady [3:15:24]
Zadanie 27: trójkąt wpisany w okrąg, kąty, długości łuków – 2 przykłady [3:21:12]
Zadanie 28: dwie cięciwy przecinające się w jednym punkcie, trójkąty podobne [3:27:46]
Kąt dopisany do okręgu – własność z dowodem [3:34:14]
Zadanie 29: kąty w okręgu ze styczną – 3 przykłady [3:40:31]

Spis treści

Twierdzenie o stycznej i siecznej – własność z dowodem [01:32]
Zadanie 30: zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej – 3 przykłady [10:41]
Twierdzenie o siecznych – własność z dowodem [15:28]
Zadanie 31: zastosowanie twierdzenia o siecznych – 3 przykłady [17:38]
Twierdzenie o cięciwach – własność z dowodem [21:15]
Zadanie 32: zastosowanie twierdzenia o cięciwach – 3 przykłady [25:26]
Zadanie 33: zastosowanie twierdzenia o siecznych, obliczenie promienia [30:45]
Zadanie 34: zastosowanie twierdzenia o cięciwach [34:45]
Zadanie 35: zastosowanie twierdzenia o stycznej i siecznej [38:10]
Okrąg opisany na trójkącie [43:11]
Okręgi opisane na różnych trójkątach – długość promienia R [47:50]
Zadanie 36: długość promienia okręgu opisanego na trójkącie – 5 przykładów [52:21]
Zadanie 37: długość boku trójkąta równobocznego, okrąg opisany – 2 przykłady [1:04:42]
Zadanie 38: promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, odległość środka okręgu od jego boków [1:08:19]
Zadanie 39: okrąg opisany na trójkącie prostokątnym – 4 przykłady [1:13:23]
Twierdzenie sinusów [1:23:11]
Pole trójkąta wpisanego w okrąg [1:24:49]
Okrąg wpisany w trójkąt [1:26:31]
Okręgi wpisane w różne trójkąty – długość promienia r [1:32:15]
Zadanie 40: długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt – 4 przykłady [1:37:28]
Zadanie 41: długość boku trójkąta równobocznego, okrąg wpisany – 2 przykłady [1:44:18]
Zadanie 42: okrąg wpisany w trójkąt prostokątny – 4 przykłady [1:46:54]
Zadanie 43: okrąg wpisany w trójkąt równoramienny – 2 przykłady [1:54:18]
Zadanie 44: trójkąt, podane trzy boki, długości odcinków na które punkty styczności z okręgiem wpisanym podzieliły boki trójkąta (tw. o odcinkach stycznych) [2:01:09]
Zadanie 45: trójkąt o podanych kątach, kąty trójkąta utworzonego przez punkty styczności z okręgiem wpisanym oraz okręgiem opisanym – 2 przykłady [2:03:21]
Pole trójkąta opisanego na okręgu [2:10:55]