Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Część czwarta poświęcona jest szczególnemu tematowi - twierdzeniu sinusów i cosinusów. Temat ten wcześniej obowiązywał uczniów z poziomu rozszerzonego. Według nowej podstawy programowej, obowiązującej od matury w 2023 roku, temat ten przeszedł na poziom podstawowy. Na blisko 2-godzinnej lekcji omawiam na 13 przykładach sposób stosowania tych twierdzeń w trójkątach. <br/><br/> <h3>Spis treści:</h3> <ul> <li>Twierdzenie sinusów [01:31]</li> <li>Dowód twierdzenia sinusów (3 przypadki) [04:18]</li> <li>Zadanie 33 (a): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [22:26]</li> <li>Zadanie 33 (b): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [25:31]</li> <li>Zadanie 33 (c): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [28:50]</li> <li>Zadanie 33 (d): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [34:18]</li> <li>Zadanie 33 (e): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [37:05]</li> <li>Zadanie 33 (f): zastosowanie twierdzenia sinusów w zadaniach [43:16]</li> <li>Twierdzenie cosinusów [53:02]</li> <li>Twierdzenie cosinusów a twierdzenie Pitagorasa [54:22]</li> <li>Dowód twierdzenia cosinusów (3 przypadki) [57:07]</li> <li>Wnioski z twierdzenia cosinusów [1:12:03]</li> <li>Zadanie 34: zastosowanie twierdzenia cosinusów w zadaniach – 3 przykłady [1:14:14]</li> <li>Zastosowanie twierdzenia cosinusów do określania kątów w trójkącie (dowód) [1:24:27]</li> <li>Zadanie 35: zastosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów w zadaniach – 4 przykłady [1:31:11]</li> </ul>

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Część piąta, ostatnia, poświęcona jest polu trójkąta. Temat z przedstawieniem wielu wzorów i różnego ich zastosowania. Omawiam ten temat na prawie 3,5-godzinnej lekcji na 35 zadaniach i przykładach. <br/><br/> <h3>Spis treści:</h3> <ul> <li>Pole figury płaskiej [00:48]</li> <li>Obliczanie pola figury [03:40]</li> <li>Pole trójkąta – wzór 1 [06:25]</li> <li>Zadanie 36: zastosowanie wzoru na pole w trójkącie równoramiennym, wyznaczenie wysokości padającej na ramię [13:53]</li> <li>Zadanie 37: zależności między polami trójkątów, a długością podstawy podzielonej odcinkiem w stosunku [17:29]</li> <li>Zadanie 38: pola trójkątów, a długość podstawy podzielona wysokością w stosunku [20:42]</li> <li>Zadanie 39: czworokąt podzielony przez przekątne na cztery trójkąty, podane pola trzech, wyznacz pole czwartego trójkąta [25:07]</li> <li>Pole trójkąta równobocznego i prostokątnego [32:14]</li> <li>Zadanie 40: trójkąt równoboczny – pole, a wysokość lub długość boku – 3 przykłady [36:02]</li> <li>Zadanie 41: trójkąt prostokątny – pole, a wysokość z kąta prostego lub jego przyprostokątne – 2 przykłady [40:06]</li> <li>Pole trójkąta – wzór 2 (wraz z dowodem) [43:41]</li> <li>Zadanie 42: obliczanie pola trójkąta o podanych dwóch bokach i kącie między nimi – 4 przykłady [50:27]</li> <li>Zadanie 43: wyznaczanie różnych wartości w trójkącie mając zadane pole – 2 przykłady [1:01:54]</li> <li>Zadanie 44: wyznaczanie promienia okręgu opisanego na trójkącie o podanym polu i dwóch bokach [1:08:41]</li> <li>Zadanie 45: zastosowanie wzoru na pole trójkąta i twierdzenie cosinusów [1:18:38]</li> <li>Zadanie 46: zastosowanie wzoru na pole trójkąta i twierdzenie cosinusów, podział trójkąta wysokością na dwa mniejsze [1:23:23]</li> <li>Pole trójkąta – wzór 3 oraz wzór 4 [1:30:11]</li> <li>Zadanie 47: zależności między polem trójkąta, a okręgiem wpisanym w ten trójkąt – 2 przykłady [1:36:44]</li> <li>Zadanie 48: zależność między polem trójkąta, a okręgiem opisanym na tym trójkącie [1:39:06]</li> <li>Zadanie 49: trójkąt równoramienny, wyznaczanie zależności między polem, a promieniem okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie [1:42:04]</li> <li>Pole trójkąta – wzór 5 (wzór Herona), wzór 6 oraz wzór 7 [1:44:51]</li> <li>Zadanie 50: trójkąt o podanych trzech bokach, obliczenie wysokości [1:53:07]</li> <li>Zadanie 51: trójkąt o podanych trzech bokach, obliczenie promienia okręgu wpisanego w trójkąt i opisanego na trójkącie [1:58:53]</li> <li>Wzory na pole trójkąta w tablicach maturalnych [2:02:50]</li> <li>Pola trójkątów podobnych [2:08:44]</li> <li>Zadanie 52: podobieństwo trójkątów: pole i obwód – 2 przykłady [2:13:54]</li> <li>Zadanie 53: trójkąt podzielony odcinkiem równoległym do boku, obliczanie pól powstałych figur z podobieństwa trójkątów [2:19:52]</li> <li>Zadanie 54: podział trójkąta na trzy części, stosunek pól tych figur [2:28:00]</li> <li>Zadanie 55: znajdywanie skali podobieństwa trójkątów mając podane pola [2:35:12]</li> <li>Zadanie 56: trójkąt równoramienny, podana zależność między polami wewnętrznych trójkątów oraz jego obwód, wyznaczenie długości boków trójkąta [2:40:40]</li> <li>Zadanie 57: trójkąt prostokątny podzielony wysokością poprowadzoną z kąta prostego, pola powstałych trójkątów [2:47:16]</li> <li>Zadanie 58: trójkąt prostokątny podzielony odcinkiem z kąta prostego równym jednej z przyprostokątnych, podane pola powstałych trójkątów, wyznaczanie przyprostokątnych największego trójkąta [2:53:59]</li> <li>Zadanie 59: trójkąt prostokątny podzielony na dwa trójkąty [3:01:53]</li> <li>Zadanie 60: trójkąty podobne w trapezie, utworzone przez przekątne i podstawy [3:06:28]</li> <li>Zadanie 61: trójkąty podobne w trapezie, utworzone przez przekątne i podstawy oraz przez wysokość trapezu [3:12:43]</li> </ul>

Lekcja druga rozszerzona stanowi uzupełnienie lekcji podstawowej (rozdzielonej na 5 części) o trudniejsze przykłady. Przez ponad 2,5 godziny, na 24 przykładach, pokazuję zastosowanie poznanych przez Ciebie już pojęć w bardziej wymagających zadaniach. <br/><br/> <h3>Spis treści:</h3> <ul> <li>Zadanie 1: twierdzenie sinusów i cosinusów: boki jako kolejne trzy liczby parzyste, jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego [03:05]</li> <li>Zadanie 2: twierdzenie sinusów: trójkąt równoboczny, podział boku w stosunku 1:3, miara jednego z kątów powstałego trójkąta [10:22]</li> <li>Zadanie 3: trójkąt prostokątny, poprowadzony odcinek z kąta ostrego taki, że powstał trójkąt równoramienny, cosinus kąta między jego ramionami [20:21]</li> <li>Zadanie 4: twierdzenie cosinusów: przedłużenie jednego z boków trójkąta, powstał trójkąt równoramienny, długość tego ramienia [26:19]</li> <li>Zadanie 5: trójkąt prostokątny ABC, na przeciwprostokątnej zbudowano trójkąt równoboczny ABD, którego pole jest trzy razy większe niż ABC, miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego [30:56]</li> <li>Zadanie 6: podział trójkąta na trzy trójkąty o równych polach, odległość punktu S od kąta prostego [41:17]</li> <li>Zadanie 7: trójkąt równoboczny, odległości punktu od boków: x, y i z, pole trójkąta [49:03]</li> <li>Zadanie 8: trójkąt równoramienny, środkowe na ramię, pole całego trójkąta ABC  [54:57]</li> <li>Zadanie 9: trójkąt, poprowadzone środkowe z wierzchołków, stosunek pól dwóch powstałych trójkątów [1:02:16]</li> <li>Zadanie 10: symetralne boków, punkt ich przecięcia jest równoodległy od wierzchołków tego trójkąta [1:10:43]</li> <li>Zadanie 11: dwusieczne kątów trójkąta, punkt ich przecięcia jest równoodległy od boków tego trójkąta [1:18:16]</li> <li>Zadanie 12: dwusieczna kąta podzieliła trójkąt na dwa mniejsze, długość odcinka jaki tworzy dwusieczna kąta wewnątrz trójkąta w zależności od boków a, b, c [1:24:53]</li> <li>Zadanie 13: trójkąt prostokątny, wysokość z kąta prostego, stosunek odcinków na jakie ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną [1:36:36]</li> <li>Zadanie 14: trójkąt podzielony symetralną jednego z boków, pola otrzymanych figur [1:43:04]</li> <li>Zadanie 15: trójkąt o podanych bokach, na jakie pola podzieliła symetralna boku [1:47:10]</li> <li>Zadanie 16: trójkąt, punkt E na środkowej połączony z wierzchołkiem, wyznacza na drugim boku punkt F, stosunek długości boków [1:54:41]</li> <li>Zadanie 17: trójkąt, wydzielony w nim równoległobok, obwód czworokąta [2:03:26]</li> <li>Zadanie 18: trapez, odcinek łączący środki ramion – 5 przykładów [2:08:38]</li> <li>Zadanie 19: suma dwóch boków i kąt między tymi bokami, największe możliwe pole, najmniejszy możliwy obwód – 2 przykłady [2:29:44]</li> <li>Zadanie 20: trójkąt w trójkącie równobocznym [2:37:48]</li> </ul>

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Pierwsza część poświęcona jest podstawowym własnościom i rodzajom trójkątów. Na 2,5-godzinnej lekcji pokazuję dużo teorii, którą przedstawiam potem na 34 przykładach. <br/><br/> <h3>Spis treści:</h3> <ul> <li>Definicja trójkąta i jego oznaczenia [06:44]</li> <li>Podział trójkątów [11:18]</li> <li>Zadanie 1: wyznaczanie miar kątów trójkąta (z rysunku) – 3 przykłady [20:35]</li> <li>Zadanie 2: wyznaczanie miar kątów trójkąta (z opisu słownego) – 4 przykłady [30:35]</li> <li>Zależności między bokami i kątami trójkąta [42:42]</li> <li>Zadanie 3: wyznaczanie miar kątów trójkąta (zależności między bokami i kątami) – 4 przykłady [46:40]</li> <li>Zadanie 4: sprawdzanie, czy trójkąt jest równoramienny – 2 przykłady [55:37]</li> <li>Zadanie 5: zależności między długością boku a kątem – 2 przykłady [1:00:40]</li> <li>Nierówność trójkąta [1:07:37]</li> <li>Zadanie 6: sprawdzanie, czy podane trzy długości mogą być bokami trójkąta – 5 przykładów [1:10:32]</li> <li>Zadanie  7: obwód trójkąta równoramiennego o podanych dwóch bokach – 2 przykłady [1:24:04]</li> <li>Zadanie 8: boki trójkąta zależne od kątów, z zastosowaniem nierówności trójkąta – 2 przykłady [1:27:43]</li> <li>Wnioski z nierówności trójkąta (z przykładem) [1:34:18]</li> <li>Odcinek łączący środki boków trójkąta [1:40:35]</li> <li>Zadanie 9: zastosowanie własności o odcinku łączącym środki boków [1:45:23]</li> <li>Twierdzenie Pitagorasa (z przykładami) [1:48:41]</li> <li>Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa [1:53:01]</li> <li>Zadanie 10: zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do wyznaczania długości boków trójkąta – 3 przykłady [1:55:21]</li> <li>Zadanie 11: wyznaczanie x, aby podane liczby były długościami boków trójkąta prostokątnego – 2 przykłady [2:09:52]</li> <li>Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do określania kątów w trójkącie [2:15:02]</li> <li>Zadanie 12: sprawdzanie rodzaju trójkąta (ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny) – 4 przykłady [2:20:27]</li> </ul>

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Druga część poświęcona jest szczególnych odcinkom rysowanych w trójkącie, mianowicie: wysokościom, środkowym, dwusiecznym kątów oraz symetralnym boków. Na ponad 2-godzinnej lekcji omawiam wszystkie te odcinki i pokazuję ich zastosowanie w zadaniach, na 24 przykładach. <br/><br/> <h3>Spis treści:</h3> <ul> <li>Wysokości w trójkącie [00:22]</li> <li>Wysokości w trójkącie równoramiennym i równobocznym [06:59]</li> <li>Wysokości w trójkącie prostokątnym [10:32]</li> <li>Zadanie 13: obliczanie długości wysokości lub boków w trójkątach – 6 przykładów [15:57]</li> <li>Trójkąty ekierkowe 30,60,90 i 45,45,90 [29:22]</li> <li>Zadanie 14: trójkąt o boku 12 i kącie 60 stopni, wyznacz obwód (3 wersje rozwiązania) [37:23]</li> <li>Zadanie 15: wyliczanie wysokości z wykorzystaniem trójkątów ekierkowych – 3 przykłady [39:35]</li> <li>Środkowe trójkąta [44:44]</li> <li>Punkt przecięcia środkowych (własność wraz z dowodem) [49:20]</li> <li>Środkowe w trójkącie równoramiennym i równobocznym [56:56]</li> <li>Środkowe w trójkącie prostokątnym [59:34]</li> <li>Zadanie 16: obliczanie długości środkowych lub boków w trójkątach – 5 przykładów [1:01:46]</li> <li>Zadanie 17: wysokości i ich własności w trójkącie równobocznym – 4 przykłady [1:19:20]</li> <li>Symetralne boków trójkąta [1:27:12]</li> <li>Dwusieczne kątów trójkąta [1:29:06]</li> <li>Zadanie 18: miary kątów w trójkącie, z dwusiecznymi – 2 przykłady [1:30:16]</li> <li>Twierdzenie o dwusiecznej wraz z dowodem [1:40:17]</li> <li>Zadanie 19: długości boków z wykorzystaniem twierdzenia o dwusiecznej – 3 przykłady [1:51:39]</li> <li>Odcinki w trójkącie – podsumowanie: wysokości, środkowe, symetralne, dwusieczne [2:03:25]</li> <li>Osie symetrii trójkąta [2:08:20]</li> </ul>

Lekcja druga podstawowa jest podzielona na 5 odrębnych części. Trzecia jej część poświęcona jest bardzo ważnemu tematowi: przystawaniu i podobieństwie trójkątów. Temat szczególnie wykorzystywany np. w dowodach w planimetrii. Na blisko 2-godzinnej lekcji omawiam na 24 przykładach sposoby znajdywania trójkątów podobnych i przystających. <br/> <br/> <h3>Spis treści:</h3> <ul> <li>Przystawanie trójkątów [01:16]</li> <li>Cechy przystawania trójkątów [04:22]</li> <li>Zadanie 20: sprawdzenie, czy podane trójkąty są przystające – 5 przykładów [10:02]</li> <li>Zadanie 21: dowód, że przekątna równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające [17:04]</li> <li>Zadanie 22: podział trójkąta prostokątnego na dwa trójkąty przystające [21:37]</li> <li>Podobieństwo trójkątów [27:12]</li> <li>Cechy podobieństwa trójkątów [37:35]</li> <li>Zadanie 23: sprawdzenie, czy podane trójkąty są podobne – 5 przykładów [43:12]</li> <li>Zadanie 24: trójkąty podobne, wyznaczanie długości boków – 3 przykłady [50:08]</li> <li>Zadanie 25: trójkąty podobne, obwód w skali podobieństwa [58:48]</li> <li>Zadanie 26: sprawdzanie czy trójkąty są podobne (kąt-kąt-kąt) – 2 przykłady [1:01:02]</li> <li>Zadanie 27: wykazywanie, że wysokość prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne [1:05:35]</li> <li>Zadanie 28: podobieństwo trójkątów w trójkącie równoramiennym [1:15:01]</li> <li>Zadanie 29: kwadrat wpisany w trójkąt równoramienny [1:24:04]</li> <li>Zadanie 30: trójkąty podobne w trapezie [1:29:31]</li> <li>Zadanie 31: okręgi styczne do siebie i do prostych [1:39:52]</li> <li>Zadanie 32: trójkąt powstały z połączenia środków boków trójkąta [1:45:56]</li> </ul>